Xác định a, b, c sao cho ax^3 + bx^2 + c chia hết cho x - 2 và chia cho x^2 - 1 dư 2x + 5

Để tìm các hệ số \( a \), \( b \), và \( c \) sao cho đa thức \( P(x) = ax^3 + bx^2 + c \) thỏa mãn các điều kiện đề bài, chúng ta sẽ phân tích từng điều kiện một.

1. **Chia hết cho \( x - 2 \):**

Theo định lý phân thức, nếu \( P(x) \) chia hết cho \( x - 2 \) thì \( P(2) = 0 \).
Tính \( P(2) \):
\[
P(2) = a(2^3) + b(2^2) + c = 8a + 4b + c
\]
Vì \( P(2) = 0 \), ta có phương trình:
\[
8a + 4b + c = 0 \quad \text{(1)}
\]

2. **Chia cho \( x^2 - 1 \) dư \( 2x + 5 \):**

Ta biết \( x^2 - 1 = (x - 1)(x + 1) \). Theo định lý phần dư, khi chia \( P(x) \) cho \( x^2 - 1 \), phần dư có dạng \( R(x) = 2x + 5 \).

Vì vậy, chúng ta cần \( P(1) \) và \( P(-1) \) để tìm ra \( a \), \( b \), và \( c \).

Tính \( P(1) \):
\[
P(1) = a(1^3) + b(1^2) + c = a + b + c
\]
Theo điều kiện \( P(1) = 2(1) + 5 = 7 \), ta có phương trình:
\[
a + b + c = 7 \quad \text{(2)}
\]

Tính \( P(-1) \):
\[
P(-1) = a(-1^3) + b(-1^2) + c = -a + b + c
\]
Theo điều kiện \( P(-1) = 2(-1) + 5 = 3 \), ta có phương trình:
\[
-a + b + c = 3 \quad \text{(3)}
\]

3. **Giải hệ phương trình:**

Chúng ta có ba phương trình:
1. \( 8a + 4b + c = 0 \) (1)
2. \( a + b + c = 7 \) (2)
3. \( -a + b + c = 3 \) (3)

Bắt đầu từ phương trình (2) và (3):
- Trừ (3) khỏi (2):
\[
(a + b + c) - (-a + b + c) = 7 - 3
\]
\[
2a = 4 \implies a = 2
\]

Thay \( a = 2 \) vào phương trình (2):
\[
2 + b + c = 7 \implies b + c = 5 \quad \text{(4)}
\]

Thay \( a = 2 \) vào phương trình (1):
\[
8(2) + 4b + c = 0 \implies 16 + 4b + c = 0 \implies 4b + c = -16 \quad \text{(5)}
\]

Giải hệ phương trình (4) và (5):
Từ (4) \( c = 5 - b \), thay vào (5):
\[
4b + (5 - b) = -16
\]
\[
4b + 5 - b = -16 \implies 3b + 5 = -16 \implies 3b = -21 \implies b = -7
\]

Thay \( b = -7 \) vào (4):
\[
-7 + c = 5 \implies c = 12
\]

4. **Kết quả:**

Cuối cùng, ta có:
\[
a = 2, \quad b = -7, \quad c = 12
\]

Vậy \( (a, b, c) = (2, -7, 12) \) thỏa mãn các điều kiện của bài toán.