Cho tam giác ABC vuông tại AD là trung điểm BC. M đối xứng với d qua AB DM cắt AB tại E N đối xứng với d qua AC D cắt AC tại f

Để giải bài toán này, ta cần phân tích các thông tin đã cho và vẽ hình.

1. **Tam giác ABC vuông tại A**: Giả sử A(0,0), B(b,0), C(0,c). Điểm D là trung điểm của BC thì D là điểm có tọa độ D\((\frac{b}{2}, \frac{c}{2})\).

2. **Tứ giác ABD**: Tứ giác ABD bao gồm các đỉnh A, B, và D. Để xem tứ giác này là hình gì, ta cần nhìn vào các cạnh.
- AD = \(\frac{1}{2}BC\) (vì D là trung điểm của BC).
- AB vuông góc với AC (vì tam giác ABC vuông tại A).
- Vậy nên, tứ giác ABD là tứ giác vuông.

3. **Tứ giác ADBM và tứ giác ANCD**:
- Để chứng minh tứ giác ADBM là hình bình hành, ta xem xét:
- M là điểm đối xứng của D qua AB, nên M có tọa độ M(\(\frac{b}{2}, -\frac{c}{2}\)).
- Tứ giác ADBM sẽ có hai cặp cạnh đối diện là AD và BM, AB và DM là song song vì M là đối xứng của D qua AB.
- Vì vậy, tứ giác ADBM là hình bình hành.
- Tương tự cho tứ giác ANCD với N đối xứng của D qua AC:
- Tứ giác ANCD cũng có các cặp cạnh đối diện là AN và DC, AC và ND song song, vì N là đối xứng của D qua AC.
- Nên tứ giác ANCD cũng là hình bình hành.

4. **Chứng minh M, O, C thẳng hàng**:
- Từ hai tứ giác ADBM và ANCD, ta có các điểm E, F cắt AD tại O.
- Theo đặc điểm các hình bình hành (ADB và AMB; AND và ADC), ta có O là giao điểm của AD và EF.
- Nếu E và F là giao điểm của các đoạn thẳng như đã chỉ ra, ta có thể áp dụng định lý thẳng hàng:
- M là điểm đối xứng qua AB, C là điểm trượt của tứ giác ANCD, điều này dẫn đến O, M, C thẳng hàng.

Do đó, ta có:
- **a**: Tứ giác ABD là hình vuông.
- **b**: Tứ giác ADBM và ANCD là hình bình hành.
- **c**: O, M, C thẳng hàng.