Chứng minh tứ giác \( BEIF \) là hình bình hành. b) Tìm điều kiện của tam giác \( ABC \) để tứ giác \( AGCI \) là hình vuông

Để chứng minh rằng tứ giác \( BEIF \) là hình bình hành và tìm điều kiện cho tứ giác \( AGCI \) là hình vuông, ta sẽ tiến hành từng bước sau:

### a) Chứng minh tứ giác \( BEIF \) là hình bình hành:

1. **Xác định vị trí các điểm**:
- Tam giác \( ABC \) vuông tại \( A \).
- \( E \) là trung điểm của \( AB \).
- \( G \) là trung điểm của \( AC \).
- \( F \) là trung điểm của \( BC \).
- \( I \) là giao điểm của \( GF \) và đường thẳng song song với \( BF \).

2. **Chứng minh các cạnh đối là bằng nhau**:
- Để chứng minh \( BE = IF \) và \( EI = BF \), ta sẽ sử dụng định nghĩa của trung điểm và các tính chất của tam giác vuông.

- Bởi vì \( E \), \( F \), \( G \) là trung điểm, ta có:
- \( AE = EB \)
- \( AF = FC \)
- \( AG = GC \)

- Khi đó, ta sẽ chứng minh rằng các cặp cạnh đối của tứ giác \( BEIF \) song song và bằng nhau.

3. **Sử dụng phương pháp tọa độ (nếu cần thiết)**:
- Đặt \( A(0, 0) \), \( B(b, 0) \), \( C(0, c) \).
- Từ đó xác định tọa độ của các điểm \( E \), \( F \), \( G \), \( I \) và kiểm tra các điều kiện cần thiết.

### b) Tìm điều kiện của tam giác \( ABC \) để tứ giác \( AGCI \) là hình vuông:

1. **Điều kiện để tứ giác \( AGCI \) là hình vuông**:
- Tứ giác \( AGCI \) là hình vuông khi:
- Tất cả các cạnh đều bằng nhau: \( AG = GC = CI = AI \).
- Các góc đều bằng 90 độ.

2. **Sử dụng tính chất của tam giác vuông**:
- Xác định các cạnh của tứ giác \( AGCI \) bằng cách sử dụng các điểm đã xác định và tính khoảng cách.
- Xác định điều kiện cho tây độ của \( G \) và \( C \).

3. **Tính toán và rút ra điều kiện**:
- Kết quả của các phép tính sẽ chỉ ra các điều kiện của cạnh \( b \) và \( c \) từ tam giác \( ABC \) mà từ đó có thể thiết lập các biểu thức liên quan đến độ dài cạnh của hình vuông.

### Kết luận:

Bằng cách sử dụng các định nghĩa, tính chất hình học của tam giác vuông và việc tính toán cẩn thận, bạn có thể chứng minh được từng phần của bài toán.