Cho △ABC vuông tại A có AB = 8 cm, AC = 6 cm, đường trung tuyến AM. Kẻ MD ⊥ AB và ME ⊥ AC. a) Tứ giác ADME là hình gì? Vì sao? b) Tìm điều kiện của tam giác ABC để tứ giác ADME là hình vuông

Để giải bài toán trên, ta thực hiện theo các bước sau:

### a) Tứ giác ADME là hình gì? Vì sao?

- **Giải thích**:
- Tứ giác ADME có các cạnh AD, DM, ME, AE do các điểm D, M, E là các điểm nằm trên các cạnh AB, AC và M là trung điểm của BC.
- MD ⊥ AB và ME ⊥ AC cho thấy ADME là hình chữ nhật.
- Hơn nữa, vì AM là trung tuyến nên nó chia tam giác ABC thành hai tam giác cân, điều này khiến AD = ME và AM = MD.
- Do đó, tứ giác ADME có hai cặp cạnh đối diện song song và bằng nhau, nên ADME là một hình chữ nhật.

### b) Tìm điều kiện của tam giác ABC để tứ giác ADME là hình vuông

- **Giải thích**:
- Để tứ giác ADME là hình vuông, phải thỏa mãn hai điều kiện: AD = AM, DM = ME.
- Do AM là trung tuyến, ta có \( AM = \frac{1}{2} BC \).
- Vì AD ⊥ ME và AM = AD nên để AD = AM, ta cần BC = 2 * AD.
- Nếu \( AD = x \), thì \( BC = 2x \).
- Ngoài ra, để ADME là hình vuông, DM cũng phải bằng với biên độ của AD.
- Do đó, \( AD \) và \( ME \) cần phải bằng nhau.

### c) Tính diện tích tam giác ABM

- **Công thức**:
- Diện tích của tam giác ABC vuông tại A là:
\[
S_{\Delta ABC} = \frac{1}{2} \times AB \times AC = \frac{1}{2} \times 8 \, cm \times 6 \, cm = 24 \, cm^2
\]
- Diện tích tam giác ABM là:
\[
S_{\Delta ABM} = \frac{1}{2} \times AB \times AM
\]
- \( AM = \frac{1}{2} \times BC \), với \( BC = \sqrt{AB^2 + AC^2} = \sqrt{8^2 + 6^2} = 10 \, cm \)
\[
AM = \frac{10}{2} = 5 \, cm
\]
- Do đó, diện tích tam giác ABM:
\[
S_{\Delta ABM} = \frac{1}{2} \times 8 \times 5 = 20 \, cm^2
\]

### 2) Cho tam giác ABC có độ dài các cạnh AB = m, AC = n; AD là đường phân giác trong của góc A. Tính tỉ số diện tích của tam giác ABD và tam giác ACD.

- **Giải thích**:
- Diện tích của tam giác ABD và ACD phụ thuộc vào độ dài của các cạnh và góc tại A.
- Theo định lý phân giác, ta có tỉ số diện tích của hai tam giác ABD và ACD:
\[
\frac{S_{\Delta ABD}}{S_{\Delta ACD}} = \frac{AB}{AC} = \frac{m}{n}
\]

Hy vọng những giải thích trên sẽ giúp ích cho bạn!