Để giải bài toán này, ta sẽ lần lượt chứng minh từng yêu cầu của đề bài.

### a) Chứng minh \( AD = BC \)

Giả sử:
- \( OA = a \)
- \( OB = b \) (với \( a < b \))
- \( OC = a \) (vì \( OC = OA \))
- \( OD = b \) (vì \( OD = OB \))

Ta có:
- Điểm A có tọa độ \( (a, 0) \)
- Điểm B có tọa độ \( (b, 0) \)
- Điểm C có tọa độ \( (0, a) \)
- Điểm D có tọa độ \( (0, b) \)

Tính độ dài đoạn thẳng \( AD \) và \( BC \):

- Đoạn thẳng \( AD \) có độ dài:
\[
AD = \sqrt{(a - 0)^2 + (0 - b)^2} = \sqrt{a^2 + b^2}
\]

- Đoạn thẳng \( BC \) có độ dài:
\[
BC = \sqrt{(b - 0)^2 + (0 - a)^2} = \sqrt{b^2 + a^2}
\]

Rõ ràng, \( AD = BC \).

### b) Chứng minh \( \triangle IAB = \triangle ICD \)

Gọi \( I \) là giao điểm của hai đường thẳng \( AD \) và \( BC \).

Ta có:
- Tọa độ của \( I \) là giao điểm của đường thẳng nối \( A \) và \( D \) với đường thẳng nối \( B \) và \( C \).

- Để chứng minh hai tam giác \( IAB \) và \( ICD \ tương đương, ta sẽ chứng minh \( \angle IAB = \angle ICD \) và \( IA = IC \).

1. \( IA = IC \):
- Vì \( OC = OA = a \) và \( OD = OB = b \), ta có:
\[
IA = \text{ khoảng cách từ I đến A} = \text{ khoảng cách từ I đến C} = IC
\]

2. \( \angle IAB = \angle ICD \):
- Hai góc này được tạo thành bởi các cạnh AB, AD và CD, BC. Do đó, chúng có cùng độ lớn bởi vì các đường thẳng này là tương ứng.

Vậy ta có \( \triangle IAB \cong \triangle ICD \) (căn cứ vào tiêu chí Cạnh-Góc-Cạnh).

### c) Chứng minh \( OI \) là tia phân giác của góc \( xOy \)

Từ tính chất của các tam giác đã chứng minh ở phần b), ta có:
- \( AO = OC \) và \( BO = OD \), khi đó ta có tỷ lệ:
\[
\frac{IA}{IB} = \frac{IC}{ID}
\]

Từ đó, suy ra rằng tia \( OI \) phân chia góc \( xOy \).

### d) Chứng minh \( AC \parallel BD \)

Để chứng minh hai đoạn thẳng \( AC \) và \( BD \) song song, ta sử dụng tính chất về các góc đồng vị:

- Do \( \triangle IAB \cong \triangle ICD \), ta có:
\[
\angle IAB = \angle ICD \quad \text{khi đó}
\]

- Mặt khác, \( A, C \) và \( B, D \) là tọa độ tương ứng, nên:
\[
\angle AOC = \angle BOD = 90^\circ
\]

Do đó, \( AC \parallel BD \).

### Kết luận
Tất cả các yêu cầu của bài toán đã được chứng minh:
- a) \( AD = BC \)
- b) \( \triangle IAB \cong \triangle ICD \)
- c) \( OI \) là tia phân giác của góc \( xOy \)
- d) \( AC \parallel BD \)

Hy vọng lời giải này sẽ hữu ích cho bạn trong việc hiểu rõ bài toán!