Để chứng minh rằng \( \Delta MPK = \Delta NPK \) và \( MP = NP \), chúng ta sử dụng các yếu tố hình học của tam giác và tính chất của tia phân giác:

1. **Đặt các yếu tố:**
- Cho tam giác \( MNP \) có \( M = N \).
- Tia phân giác \( PK \) chia góc \( MPN \) thành hai góc bằng nhau, nghĩa là \( \angle MPK = \angle NPK \).

2. **Các cạnh:**
- Chúng ta có \( MP \) và \( NP \) là hai cạnh của tam giác.
- Theo giả thiết, \( M = N \) nên \( MP = NP \).

3. **Các yếu tố của tam giác:**
- \( PK \) là chung cho cả hai tam giác \( MPK \) và \( NPK \).

Từ đó, chúng ta có:
- \( \Delta MPK \) và \( \Delta NPK \) có:
- Gốc: \( \angle MPK = \angle NPK \) (do tia phân giác).
- Cạnh: \( MP = NP \) (do \( M = N \)).
- Cạnh: \( PK \) chung.

Vậy theo tiêu chuẩn bất đẳng thức (góc - cạnh - góc), chúng ta có \( \Delta MPK \cong \Delta NPK \).

Cuối cùng, ta có:
- \( MP = NP \) do \( M = N \) và \( PK \) là tia phân giác.

Chúng ta đã chứng minh xong hai kết luận theo yêu cầu: \( \Delta MPK = \Delta NPK \) và \( MP = NP \).