Để chứng minh các tính chất trong bài toán, ta sẽ phân tích từng yêu cầu một.

### a) Chứng minh \(\triangle ADB \cong \triangle CBE\)

1. **Cạnh chung**: \(AB\) là cạnh chung của hai tam giác.
2. **Cạnh \(\overline{BD} = \overline{BC}\)**: Theo giả thiết, ta có \(BD = BC\).
3. **Góc**: \(ADBE\) và \(CBE\) là các góc tương ứng ở phần tổng quát, có thể dùng tính chất góc kề bù hoặc tính chất tia phân giác để suy ra.

### b) Chứng minh \(F\) là trung điểm của \(CD\) và \(BF\) vuông góc với \(CD\)

1. **Chứng minh \(F\) là trung điểm**: Dựa trên tính chất của phân giác và cách định nghĩa điểm \(D\) sao cho \(BD = BC\), ta có thể sử dụng định lý về trung điểm.
2. **Góc vuông**: Khi chứng minh \(ADBE = CBE\), ta có thể chỉ ra rằng \(BF\) vuông góc với \(CD\) bằng cách chỉ ra rằng hai tam giác này được tạo ra có cạnh đối diện và cạnh kề tương ứng.

### c) Chứng minh \(AC < 2BC\)

1. **Sử dụng định nghĩa của các cạnh**: Với \(AB < BC\), ta có thể sử dụng định lý tam giác để luôn có \(AC < AB + BC\).
2. **Áp dụng bất đẳng thức**: Sử dụng bất đẳng thức tam giác cho các tam giác được hình thành, từ đó rút ra được kết luận mong muốn.

Những chứng minh này dựa nhiều vào các tính chất hình học cơ bản về tam giác, đường phân giác, và các loại tam giác đồng dạng hoặc bằng nhau. Hy vọng rằng chúng sẽ giúp bạn hoàn thành bài toán!