Để chứng minh các yêu cầu trong bài toán, ta sẽ áp dụng các kiến thức về tính chất của tam giác và định lý cạnh - góc.

### a) Chứng minh \(\Delta ABD = \Delta ACD\) theo trường hợp cạnh - cạnh - cạnh (CCG).

1. **Cạnh AB = AC:** Theo giả thiết, ta có \(AB = AC\).
2. **Cạnh BD = CD:** Vì D là trung điểm của đoạn BC, nên \(BD = CD\).
3. **Cạnh AD = AD:** Cạnh này là chung trong hai tam giác ABD và ACD.

Với ba cặp cạnh tương ứng đã được chứng minh bằng nhau:
- \(AB = AC\)
- \(BD = CD\)
- \(AD = AD\)

Theo định lý cạnh - cạnh - cạnh (CCG), ta suy ra rằng \(\Delta ABD \cong \Delta ACD\).

### b) Chứng minh \(\hat{B} = \hat{C}\)

Do \( \Delta ABD \cong \Delta ACD \), do đó các góc tương ứng cũng bằng nhau.
- Từ tính chất của hai tam giác đồng dạng hoặc bằng nhau, ta có:
\[
\hat{B} = \hat{C}
\]

Như vậy, ta đã chứng minh xong yêu cầu của bài toán.