Cho tam giác ABC biết AB = AC. Gọi M là trung điểm của BC. Chứng minh tam giác AMB = tam giác AMC, suy ra AMB = AMC? Vẽ MH vuông góc AB tại H, HK vuông góc AC tại K. Chứng minh AM là đường trung trực đoạn thẳng HK

Để chứng minh các kết quả trong bài toán này, chúng ta sẽ lần lượt thực hiện các bước như sau:

### a) Chứng minh tam giác AMB = tam giác AMC

Cho tam giác \( ABC \) với \( AB = AC \), \( M \) là trung điểm của đoạn thẳng \( BC \).

1. **Xét các yếu tố của tam giác**:
- Ta có \( AB = AC \) (Giả thiết) vì tam giác \( ABC \) là tam giác cân.
- \( MB = MC \) (Tính chất của trung điểm) vì \( M \) là trung điểm của \( BC \).
- \( AM \) là cạnh chung của hai tam giác \( AMB \) và \( AMC \).

2. **Áp dụng tiêu chí đồng dạng**:
Theo điều kiện trên, ta có:
- \( AB = AC \)
- \( MB = MC \)
- \( AM = AM \)

Do đó, theo tiêu chí (cạnh-cạnh-cạnh), ta có hai tam giác \( AMB \) và \( AMC \) có ba cặp cạnh tương ứng bằng nhau. Do vậy:

\[
\triangle AMB \cong \triangle AMC
\]

3. **Suy ra \( \angle AMB = \angle AMC \)**:
Từ việc hai tam giác này bằng nhau (cong nhau), suy ra các góc tương ứng cũng bằng nhau.

### b) Chứng minh AM là đường trung trực đoạn thẳng HK

1. **Vẽ dựng**:
- Vẽ đường thẳng \( MH \) vuông góc với \( AB \) tại \( H \) và \( HK \) vuông góc với \( AC \) tại \( K \).

2. **Chứng minh**:
- Từ \( \triangle AMB \cong \triangle AMC \), các điểm \( H \) và \( K \) đều nằm trên đường thẳng \( AM \) và \( HK \) là đoạn thẳng vuông góc với \( AB \) và \( AC \) tương ứng.
- Từ đó, khi \( AM \) là trung điểm của đoạn \( HK \), tức là \( MH \) là vuông góc với \( AB \) và \( MK \) vuông góc với \( AC \).
- Bất kỳ đoạn thẳng nào đi qua trung điểm và vuông góc với một đoạn thẳng thì đoạn thẳng đó sẽ là đường trung trực của đoạn thẳng đó.

3. **Kết luận**:
Vậy \( AM \) chính là đường trung trực của đoạn thẳng \( HK \).

Do đó, chúng ta đã chứng minh được cả hai kết luận như yêu cầu.