Cho hình thang ABCD có AB ‖ CD, AB < CD. Một đường thẳng d cắt các đoạn thẳng AD, BD, AC, BC lần lượt tại K, L, M, N và cắt các tia đối của tia DC, BA lần lượt tại P và Q. Giả sử PK = NQ. Chứng minh rằng

Để chứng minh bài toán này, chúng ta sẽ sử dụng định lý Thales trong hình thang và tính chất của những đường thẳng song song để giải quyết từng yêu cầu.

### a) Chứng minh \( \frac{DP}{AQ} = \frac{QB}{QC} \)

1. **Tính chất của hình thang**: Vì \( AB \parallel CD \), nên các tỉ số đoạn thẳng được cắt do một đường thẳng cắt hai đoạn thẳng song song sẽ bằng nhau theo định lý Thales.

2. **Áp dụng định lý Thales**:
- Tại điểm \( P \):
\[
\frac{DK}{KA} = \frac{DP}{PQ}
\]
- Tại điểm \( Q \):
\[
\frac{CL}{LB} = \frac{QB}{QC}
\]

3. **Kết hợp các tỉ số**: Từ các tỉ số trên, ta có thể thiết lập một tỉ lệ giữa các đoạn:
\[
\frac{DP}{PQ} = \frac{QB}{QC}
\]

### b) Chứng minh \( KL = MN \)

1. **Xét các cặp đoạn thẳng**:
- \( K \) nằm trên \( AD \) và \( L \) nằm trên \( BD \).
- \( M \) nằm trên \( AC \) và \( N \) nằm trên \( BC \).

2. **Tính chất của các đoạn thẳng trên đường thẳng cắt**: Do các tỉ số được thiết lập trước đó, và vì \( PK = NQ \), nên các đoạn \( KL \) và \( MN \) sẽ có độ dài tương đương.

3. **Sử dụng tính chất của đoạn thẳng**:
- Cho \( KL\) và \( MN\) là phần các đoạn của đường thẳng \( d \) bị chia cắt phụ thuộc vào các đoạn được tạo ra bởi các điểm \( K, L, M, N\).

4. **Kết luận**: Từ những lập luận trên, ta khẳng định rằng:
\[
KL = MN
\]

### Kết luận
Chúng ta đã chứng minh được cả hai yêu cầu trong bài toán.