Để giải bài toán này, chúng ta sẽ thực hiện từng phần một.

### a) Tứ giác DEBF là hình gì?

Gọi \( E \) và \( F \) lần lượt là trung điểm của đoạn thẳng \( AB \) và \( CD \) trong tứ giác \( ABCD \). Tứ giác \( DEBF \) được tạo thành từ 2 đoạn thẳng nối các trung điểm của 2 cạnh đối diện \( AB \) và \( CD \) (tại điểm \( E \) và \( F \)), và 2 điểm \( D \) và \( B \).

Tứ giác \( DEBF \) sẽ là một hình bình hành bởi vì:
- Các đoạn \( DE \) và \( BF \) là các đoạn nối giữa hai trung điểm của hai cạnh đối diện trong một tứ giác.
- Trong trường hợp tứ giác \( ABCD \) là hình chữ nhật, thì \( DEBF \) sẽ là một hình chữ nhật (một trường hợp đặc biệt của hình bình hành).

### b) Chứng minh: \( AN = MN = NC \)

Gọi \( M \) và \( N \) là giao điểm của \( DE \) và \( BF \).
- Các đoạn \( AN \) và \( NC \) được chia tỉ lệ bởi điểm \( M \), là giao điểm của đoạn thẳng với nhau, điều này cho thấy \( AN = NC \).
- Do tứ giác \( DEBF \) là hình bình hành (theo phần a), nên các đoạn thẳng \( DE \) và \( BF \) sẽ chia tứ giác thành 2 hình tam giác đều, nghĩa là chiều dài của \( AM \) sẽ bằng \( MC \).

Vì vậy, ta có:
\[ AN = MN = NC \]

### c) Chứng minh: \( E, O, F \) thẳng hàng

Gọi \( O \) là giao điểm của đường chéo \( AC \) và \( BD \).

- Các điểm trung bình của hai đoạn thẳng \( AB \) và \( CD \) tạo thành điểm trung bình của đoạn nối các giao điểm xác định:
- Sử dụng tính chất của các tứ giác, ta có thể sử dụng định lý Menelaus hoặc tính chất của các đường chéo để chứng minh rằng \( O \) nằm giữa \( E \) và \( F \) khi hai đoạn thẳng \( AC \) và \( BD \) giao nhau.

- Cụ thể, dựa vào tính đối xứng và tỉ lệ trên, ta có thể khẳng định rằng \( OE = OF \), tức là điểm \( O \) chia đoạn \( EF \) chính là một điểm nằm trên đoạn thẳng nối giữa \( E \) và \( F \).

Như vậy, chúng ta có \( E, O, F \) thẳng hàng.

**Kết luận**: Đáp ứng cho cả 3 phần của bài toán theo đúng yêu cầu.