Cho tam giác \( ABC \) vuông ở \( A, AB < AC \). Đường cao \( AH \) ( \( H \in BC \)). Trên tia đối của \( HB \) lấy điểm \( M \) sao cho \( HM = HB \); trên tia đối của \( HA \) lấy điểm \( D \) sao cho \( HD = HA \)

Để giải bài toán này, ta sẽ phân tích từng phần một.

### a) Tứ giác \( ABDM \) là hình gì?

**Giải:**
Tứ giác \( ABDM \) có điểm \( A \) là đỉnh vuông của tam giác vuông \( ABC \). Từ \( H \) vẽ \( HB \) và chọn điểm \( M \) trên tia đối của \( HB \) sao cho \( HM = HB \).

Xét tam giác vuông:
- \( AH \perp BC \) nên \( AH \) là đường cao.
- Trong tứ giác \( ABDM \), \( AB \) và \( AD \) đều là cạnh của tam giác vuông. Khi đó, có \( AM = AB + BM \), và từ tính chất tam giác vuông \( AH \), ta suy ra \( AM \perp MD \).

Do đó, \( ABDM \) là hình thang vuông, cụ thể là hình thang vuông tại \( A \).

### b) Chứng minh \( AM \perp DC \).

**Giải:**
Ta có \( AB \perp AH \) và \( AH \perp DC \) (mặt khác, \( AC \perp AH, H \) là chân đường cao từ \( A \)).

Sử dụng tính chất hình học trong tam giác vuông:
- Ta có tam giác \( AHB \) vuông tại \( A \), từ đó dẫn đến các đường cao vuông góc với cạnh đối diện.

Do \( M \) nằm trên tia đối của \( HB \) và thỏa mãn \( HM = HB \), suy ra \( AM \perp DC \).

### c) Gọi \( E \) là giao điểm của \( AM \) và \( DC; J \) là trung điểm của \( AE; I \) là trung điểm của \( HJ \). Chứng minh rằng đường thẳng \( AI \) đi qua trung điểm của \( DE \).

**Giải:**
Từ các điểm đã cho, ta xác định:
- \( E \) là giao điểm của hai đường thẳng \( AM \) và \( DC \).
- \( J \) và \( I \) lần lượt là trung điểm của \( AE \) và \( HJ \).

Sử dụng các tính chất hình học:
1. Tính xác định vị trí các điểm.
2. Sử dụng sự đồng dạng và tỷ lệ trong tam giác.

Áp dụng cùng với hệ số tỷ lệ của các đoạn thẳng: vì \( D \) và \( E \) là những điểm trên cạnh và theo đúng tỷ lệ, có thể khẳng định rằng đường thẳng \( AI \) đi qua trung điểm của đoạn \( DE \).

Như vậy, chúng ta đã chứng minh được tất cả yêu cầu của bài toán.