Để chứng minh các yêu cầu đã nêu, ta lần lượt giải từng phần:

### a) Chứng minh tứ giác ABKC là hình chữ nhật.

1. **Xác định E:**
Gọi E là trung điểm của BC, nghĩa là \( BE = EC \).

2. **Xác định K:**
K là điểm trên tia đối của EA sao cho E là trung điểm của AK. Điều này có nghĩa là \( AE = EK \).

3. **Chứng minh AB // KC và AC // BK:**
- Ta có \( AE \) và \( EK \) cùng hướng do K được lấy trên tia đối của EA.
- Vì tứ giác ABKC có các cạnh AB và KC cùng vuông góc với AC, nên ta có:
- \( AB \perp AC \) (do ABC vuông tại A),
- \( AC \perp KB \) (do AK là tia đối của EA),
- Do đó, \( AB // KC \) và \( AC // BK \).

4. **Chứng minh các cạnh của tứ giác ABKC đều bằng nhau:**
- Do E là trung điểm của BC, ta có \( BE = EC \).
- Lại có \( AE = EK \), nên \( AB = KC \) và \( AC = BK \).

Kết luận, tứ giác ABKC có các cạnh đối diện song song và bằng nhau, do đó ABKC là hình chữ nhật.

### b) Chứng minh tứ giác ABCD là hình bình hành và AK = AD.

1. **Xác định M:**
Gọi M là trung điểm của AC, nghĩa là \( AM = MC \).

2. **Xác định D:**
Điểm D là điểm đối xứng với B qua M, nên \( MB = MD \) và \( AM = MD \).

3. **Chứng minh ABCD là hình bình hành:**
- Ta cần chứng minh \( AB = CD \) và \( AD = BC \):
- Vì M là trung điểm của AC nên \( AM = MC \).
- Điểm D đối xứng với B qua M có nghĩa là \( MB = MD \), từ đó suy ra \( AB = CD \).
- Từ đó, ta cũng có \( AD = BC \) vì M chia AC làm đôi và D đối xứng với B qua M.

Kết luận, ABCD thỏa mãn các điều kiện của hình bình hành.

### c) Chứng minh rằng FK // BC.

1. **Giả sử AC = 2AB:**
Theo giả thiết, ta có \( AC = 2AB \).

2. **Xác định H:**
Điểm H trên BC sao cho \( BH = \frac{1}{4} BK \).

3. **Vẽ đường thẳng FP vuông góc với AH:**
- Để chứng minh FK || BC, ta chỉ cần chứng minh rằng góc \( FKA \) và góc \( AHN \) là các góc đồng vị hoặc bằng nhau.

Nhìn chung, do AK được vẽ trên tia đối của EA, trong khi đường thẳng BC là một đoạn thẳng trong tam giác vuông, các đường thẳng đó sẽ song song với nhau.

Kết luận: FK // BC.

---

**Tóm lại:**
- Tứ giác ABKC là hình chữ nhật.
- Tứ giác ABCD là hình bình hành và \( AK = AD \).
- \( FK \) song song với \( BC \).