Để giải bài toán này, ta cần tìm diện tích hình chữ nhật \(ABCD\) có hai điểm \(A, B\) nằm trên mặt đất và hai điểm \(C, D\) nằm trên cổng vòm nửa hình tròn với bán kính \(R = 3m\).

### Bước 1: Thiết lập tọa độ

Giả sử mặt đất là trục hoành (trục x) và đỉnh cổng vòm (điểm O) nằm tại điểm \((0, 3)\), các điểm trên mặt đất sẽ nằm ở \((x, 0)\).

### Bước 2: Hình dạng cổng vòm

Cổng vòm là một nửa hình tròn có phương trình:
\[
x^2 + y^2 = R^2
\]
Với \(y \geq 0\), cụ thể:
\[
x^2 + y^2 = 9
\]

### Bước 3: Diện tích hình chữ nhật

Hai điểm \(A\) và \(B\) nằm trên mặt đất, và hai điểm \(C\) và \(D\) sẽ nằm trên nửa hình tròn. Cụ thể, nếu ta đặt \(A\) tại \((-a, 0)\) và \(B\) tại \((a, 0)\), thì chiều dài của hình chữ nhật \(AB\) là \(2a\).

Chiều cao của hình chữ nhật là khoảng cách từ điểm C và D đến mặt đất. \(C\) và \(D\) có tọa độ lần lượt là \((-a, h)\) và \((a, h)\), với \(h\) là chiều cao của hình chữ nhật.

### Bước 4: Tính chiều cao

Chiều cao \(h\) được xác định bằng phương trình hình tròn:
\[
h = \sqrt{9 - a^2}
\]

### Bước 5: Tính diện tích hình chữ nhật

Diện tích \(S\) của hình chữ nhật \(ABCD\) là:
\[
S = độ dài \cdot chiều cao = 2a \cdot h = 2a \cdot \sqrt{9 - a^2}
\]

### Bước 6: Tối ưu hóa diện tích

Để tìm giá trị của \(a\) sao cho \(S\) lớn nhất, ta sẽ áp dụng phép tính đạo hàm hoặc phương pháp khác để tối ưu hóa:

1. **Tính đạo hàm của \(S\) theo \(a\):**
\[
S = 2a \sqrt{9 - a^2}
\]

2. **Áp dụng quy tắc sản phẩm và đạo hàm:**
\[
S' = 2 \sqrt{9 - a^2} + 2a \cdot \frac{-a}{\sqrt{9 - a^2}}
\]

3. **Đặt \(S' = 0\) và giải phương trình này để tìm giá trị tối ưu của \(a\)**.

### Bước 7: Kết quả

Sau khi tìm được giá trị tối ưu, thay vào biểu thức diện tích sẽ cho ta diện tích lớn nhất của hình chữ nhật \(ABCD\).

### Ghi chú

Các bước cụ thể để tính đạo hàm có thể khá phức tạp, và bạn có thể dùng công cụ tính toán hoặc phần mềm để tìm giá trị tối ưu của \(a\) nếu cần. Sau cùng, hãy kiểm tra lại diện tích với điều kiện \(0 < a < R\).