Tìm số nguyên n để phân số sau là số nguyên

Để phân số \(\frac{n + 3}{2n - 2}\) là một số nguyên, điều kiện cần là mẫu số \(2n - 2\) phải khác 0 (tức là \(n \neq 1\)), và tử số \(n + 3\) phải chia hết cho mẫu số \(2n - 2\).

Chúng ta có thể đặt:

\[
\frac{n + 3}{2n - 2} = k
\]

trong đó \(k\) là số nguyên. Từ đó, ta có:

\[
n + 3 = k(2n - 2)
\]

Sau đó, ta sắp xếp lại phương trình:

\[
n + 3 = 2kn - 2k
\]

\[
n - 2kn = -2k - 3
\]

\[
n(1 - 2k) = -2k - 3
\]

\[
n = \frac{-2k - 3}{1 - 2k}
\]

Giờ đây, để \(n\) là số nguyên, biểu thức \(-2k - 3\) phải chia hết cho \(1 - 2k\). Ta sẽ kiểm tra các giá trị của \(k\):

1. **Nếu \(k = 0\)**:
\[
n = \frac{-2(0) - 3}{1 - 2(0)} = \frac{-3}{1} = -3
\]
2. **Nếu \(k = 1\)**:
\[
n = \frac{-2(1) - 3}{1 - 2(1)} = \frac{-2 - 3}{1 - 2} = \frac{-5}{-1} = 5
\]
3. **Nếu \(k = -1\)**:
\[
n = \frac{-2(-1) - 3}{1 - 2(-1)} = \frac{2 - 3}{1 + 2} = \frac{-1}{3} \, (\text{không là số nguyên})
\]
4. **Nếu \(k = 2\)**:
\[
n = \frac{-2(2) - 3}{1 - 2(2)} = \frac{-4 - 3}{1 - 4} = \frac{-7}{-3} \, (\text{không là số nguyên})
\]
5. **Nếu \(k = 3\)**:
\[
n = \frac{-2(3) - 3}{1 - 2(3)} = \frac{-6 - 3}{1 - 6} = \frac{-9}{-5} \, (\text{không là số nguyên})
\]

Từ các phép thử trên, ta tìm được hai giá trị của \(n\) là:

- \(n = -3\) (khi \(k = 0\))
- \(n = 5\) (khi \(k = 1\))

Vì vậy, hai giá trị nguyên của \(n\) sao cho \(\frac{n + 3}{2n - 2}\) là số nguyên là:

\[
\boxed{-3 \text{ và } 5}
\]