Để giải bài toán này, chúng ta sẽ thực hiện từng phần một.

### a) Tính độ dài đoạn thẳng MN

1. **Xác định vị trí điểm O**: Vì O nằm trên tia đối của AB, chúng ta có thể đặt A = 0 cm và B = 12 cm. Khi đó, điểm O sẽ nằm trên đường thẳng kéo dài từ B ra một bên và có thể cho O một vị trí âm, ví dụ O = -x, với x là khoảng cách từ B đến O (x > 0).

2. **Tìm tọa độ M và N**:
- M là trung điểm của đoạn thẳng OA, nên tọa độ của M là:
\[
M = \frac{O + A}{2} = \frac{-x + 0}{2} = -\frac{x}{2}
\]
- N là trung điểm của đoạn thẳng OB, nên tọa độ của N là:
\[
N = \frac{O + B}{2} = \frac{-x + 12}{2} = \frac{-x + 12}{2}
\]

3. **Tính độ dài đoạn thẳng MN**:
- Độ dài đoạn thẳng MN được tính bằng:
\[
MN = |N - M| = \left| \left(\frac{-x + 12}{2}\right) - \left(-\frac{x}{2}\right) \right| = \left| \frac{-x + 12 + x}{2} \right| = \left| \frac{12}{2} \right| = 6 \text{ cm}
\]

Vậy độ dài đoạn thẳng MN là 6 cm.

### b) Tính số điểm cần thiết trên AB để có 4,950 góc đinh

Để tính số điểm cần thiết để tạo thành 4,950 góc đinh từ điểm P:

1. **Số cách chọn 2 điểm từ n điểm**: Nếu trên đường thẳng AB có n điểm được chọn, số góc đinh tạo thành sẽ được tính bằng công thức:
\[
C(n, 2) = \frac{n(n - 1)}{2}
\]

2. **Thiết lập phương trình**: Chúng ta muốn:
\[
\frac{n(n - 1)}{2} = 4,950
\]
Kết hợp và biến đổi phương trình:
\[
n(n - 1) = 9,900
\]

3. **Giải phương trình bậc hai**:
\[
n^2 - n - 9900 = 0
\]
Áp dụng công thức nghiệm của phương trình bậc hai:
\[
n = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a} = \frac{1 \pm \sqrt{1 + 4 \times 9900}}{2} = \frac{1 \pm \sqrt{39601}}{2}
\]
Tính toán giá trị của căn:
\[
\sqrt{39601} \approx 199
\]
Vậy nghiệm là:
\[
n \approx \frac{1 + 199}{2} = 100 \quad \text{or} \quad n \approx \frac{1 - 199}{2} \text{(không hợp lệ)}
\]
Do đó, \( n = 100 \).

4. **Số điểm cần thêm**: Nếu trên đường thẳng AB đã có 2 điểm A và B, ta cần thêm:
\[
100 - 2 = 98 \text{ điểm}
\]

Vậy cần lấy thêm 98 điểm phân biệt trên đường thẳng AB để số góc đinh P tạo thành là 4,950 góc.