Để tìm số tự nhiên \( n \) sao cho \( 3n + 1 \) chia hết cho \( n + 2 \), ta cần giải phương trình sau:

\[
3n + 1 \equiv 0 \pmod{n + 2}
\]

Điều này có nghĩa là:

\[
3n + 1 = k(n + 2)
\]

Với \( k \) là một số nguyên. Khi vậy, ta có thể viết lại phương trình trên thành:

\[
3n + 1 = kn + 2k
\]

Sắp xếp lại, ta được:

\[
3n - kn = 2k - 1
\]

\[
n(3 - k) = 2k - 1
\]

Từ đây, ta có

\[
n = \frac{2k - 1}{3 - k}
\]

Để \( n \) là một số tự nhiên, \( 2k - 1 \) phải chia hết cho \( 3 - k \). Ta sẽ xét các giá trị của \( k \) để tìm các giá trị tự nhiên của \( n \).

1. **Nếu \( k = 1 \)**:
\[
n = \frac{2 \cdot 1 - 1}{3 - 1} = \frac{1}{2} \quad \text{(không phải số tự nhiên)}
\]

2. **Nếu \( k = 2 \)**:
\[
n = \frac{2 \cdot 2 - 1}{3 - 2} = \frac{4 - 1}{1} = 3 \quad \text{(là số tự nhiên)}
\]

3. **Nếu \( k = 3 \)**:
\[
n = \frac{2 \cdot 3 - 1}{3 - 3} \quad \text{(không xác định)}
\]

4. **Nếu \( k \geq 4 \)**:
- \( 3 - k < 0 \) nên \( n < 0 \) (không phải số tự nhiên).

Vì vậy \( k = 2 \) là giá trị duy nhất cho phép \( n \) là số tự nhiên. Ta có:

\[
n = 3
\]

Vậy số tự nhiên \( n \) sao cho \( 3n + 1 \) chia hết cho \( n + 2 \) là:

\[
\boxed{3}
\]