Tìm 2 số nguyên tố p; q biết p > q và

Để tìm hai số nguyên tố \( p \) và \( q \) thỏa mãn \( p > q \), \( 5p - 1 \) chia hết cho \( q \), và \( 5q - 1 \) chia hết cho \( p \), chúng ta sẽ tìm các số nguyên tố \( p \) và \( q \) phù hợp.

Từ điều kiện \( 5p - 1 \equiv 0 \mod{q} \) ta có:
\[
5p \equiv 1 \mod{q} \quad \text{(1)}
\]
Và từ điều kiện \( 5q - 1 \equiv 0 \mod{p} \) ta có:
\[
5q \equiv 1 \mod{p} \quad \text{(2)}
\]

Cách tiếp cận là thử với một vài số nguyên tố nhỏ cho \( q \) và tìm \( p \) tương ứng.

1. Giả sử \( q = 2 \):
- Từ (1): \( 5p \equiv 1 \mod{2} \) luôn đúng (vì \( 5p \) là số lẻ).
- Từ (2): \( 5 \cdot 2 - 1 = 10 - 1 = 9 \). Ta cần \( 9 \) chia hết cho \( p \), do đó \( p \) có thể là \( 3 \) (vì \( p \) phải là số nguyên tố và \( 3 > 2 \)).

Xét:
- \( p = 3 \), \( q = 2 \).
- Kiểm tra: \( 5p - 1 = 5 \cdot 3 - 1 = 15 - 1 = 14 \), chia hết cho \( q = 2 \). Đúng.
- Kiểm tra: \( 5q - 1 = 5 \cdot 2 - 1 = 10 - 1 = 9 \), chia hết cho \( p = 3 \). Đúng.
- Vậy cặp \( (p, q) = (3, 2) \) thỏa mãn điều kiện.

2. Tiếp tục thử với các số nguyên tố khác:
- Giả sử \( q = 3 \):
- Từ (1): \( 5p \equiv 1 \mod{3} \implies 2p \equiv 1 \mod{3} \implies p \equiv 2 \mod{3} \) (các số nguyên tố có thể là 2, 5, 11, ...).
- Thử \( p = 5 \):
- \( 5p - 1 = 5 \cdot 5 - 1 = 25 - 1 = 24 \), chia hết cho \( q = 3 \). Đúng.
- \( 5q - 1 = 5 \cdot 3 - 1 = 15 - 1 = 14 \), không chia hết cho \( p = 5 \) (sai).

Do đó, cặp \( (p, q) = (3, 2) \) là cặp duy nhất thỏa mãn.

Vậy hai số nguyên tố \( p \) và \( q \) là:
\[
p = 3, \quad q = 2
\]