Chứng minh 2n + 5 và 4n + 12 nguyên tố cùng nhau với n là số tự nhiên

Để chứng minh rằng \(2n + 5\) và \(4n + 12\) là hai số nguyên tố cùng nhau với \(n\) là một số tự nhiên, ta sẽ sử dụng định nghĩa về số nguyên tố cùng nhau. Hai số được gọi là nguyên tố cùng nhau nếu ước số chung lớn nhất (ƯCLN) của chúng bằng 1.

Ta có:

- \(a = 2n + 5\)
- \(b = 4n + 12 = 2(2n + 6) = 2(2n + 5 + 1) = 2a + 2\)

Để có thể tính ƯCLN của hai số này, ta có thể sử dụng thuật toán Euclid để tìm ƯCLN. Ta sẽ tính ƯCLN của \(a\) và \(b\):

\[
\text{ƯCLN}(a, b) = \text{ƯCLN}(2n + 5, 4n + 12)
\]
\[
= \text{ƯCLN}(2n + 5, 4n + 12 - 2(2n + 5))
\]
\[
= \text{ƯCLN}(2n + 5, 4n + 12 - (4n + 10))
\]
\[
= \text{ƯCLN}(2n + 5, 2)
\]

Tiếp theo, giờ ta chỉ cần tìm ƯCLN của \(2n + 5\) và \(2\).

- \(2n + 5\) là số lẻ khi \(n\) là số tự nhiên (bởi vì \(2n\) là số chẵn và cộng với 5 thì kết quả luôn lẻ).
- Số 2 là số chẵn.

Khi một số lẻ và một số chẵn có ƯCLN, ta có:

\[
\text{ƯCLN}(2n + 5, 2) = 1
\]

Vì vậy, từ \( \text{ƯCLN}(a, b) = \text{ƯCLN}(2n + 5, 4n + 12) = \text{ƯCLN}(2n + 5, 2) = 1 \), ta kết luận rằng \(2n + 5\) và \(4n + 12\) là nguyên tố cùng nhau.

Vậy là ta đã chứng minh được \(2n + 5\) và \(4n + 12\) là hai số nguyên tố cùng nhau với mọi số tự nhiên \(n\).