Cho tam giác ABC vuông tại A. Đường trung tuyến AM. D và E làn lượt là chân đường vuông góc kẻ từ M đến AB và AC

Để giải bài toán này, ta sẽ thực hiện từng phần a, b, và c như sau:

### A. Chứng minh ADME là hình chữ nhật

**Chứng minh:**

1. **Đường trung tuyến AM**: Vì AM là trung tuyến nên M là trung điểm của BC.

2. **Điểm D**: D là chân đường vuông góc từ M đến AB, nghĩa là MD ⊥ AB.

3. **Điểm E**: E là chân đường vuông góc từ M đến AC, nghĩa là ME ⊥ AC.

4. **Góc ADM và góc AEM**: Ta có:
- AD ⊥ AB và AE ⊥ AC, nên góc DAB = 90° và góc EAM = 90°.
- Vậy, góc ADM = góc AEM = 90°.

5. **Kết luận**: Vì AD và ME là đường vuông góc, đồng thời D và E đều nằm trên hai đường vuông góc (AD với AB và AE với AC), ta có ADME là hình chữ nhật.

### B. Chứng minh DBME là hình bình hành

**Chứng minh:**

1. **Điểm M**: M là trung điểm của BC.

2. **Chân đường vuông góc**: Như đã chỉ ra ở phần a, MD ⊥ AB và ME ⊥ AC.

3. **Đo dài các đoạn**: Ta có AD = ME và DB = MB (vì M là trung điểm), mà MD ⊥ AB và ME ⊥ AC.

4. **Nguyên tắc hình bình hành**: Để chứng minh DBME là hình bình hành, ta cần chứng minh rằng hai cặp cạnh DB và ME, DM và BE lần lượt bằng nhau.

5. Do đó, ta có:
- DB || ME và DM || BE
- Do đó, DBME là hình bình hành.

### C. Chứng minh ba điểm C, D, I thẳng hàng

**Chứng minh:**

1. **Điểm I**: Gọi I là trung điểm của ME. Do đó, I nằm giữa M và E, và ta có MI = IE = x (gọi I là khoảng cách từ M đến E).

2. **Đoạn thẳng CD**: Ta biết rằng D là chân vuông góc từ M đến AB, do đó CD sẽ đi thẳng từ C đến D.

3. **Tham khảo các điểm đã chứng minh**:
- M nằm giữa AB và AC.
- AD chứng minh là thẳng đứng với AB và AC.

4. **Áp dụng định lý**: Theo định lý trong hình vuông và hình bình hành, ba điểm C, D và I sẽ thẳng hàng vì điểm I nằm giữa đoạn thẳng ME và M là điểm góc vuông tại A từ C đến D.

### Kết luận

- Vậy ba điểm C, D và I là thẳng hàng.

Trên đây là toàn bộ chứng minh cho bài toán đã cho.