Cho △ABC, trung tuyến AD. Đường phàn giác ⟨ADB⟩ cắt cạnh AB ở M. Đường phàn giác của ADC cắt AC ở N. Gọi K là giao điểm của AD và MN

Để giải bài toán hình học này, ta sẽ thực hiện các phần như sau:

### 1. Cho △ABC, trung tuyến AD.
- **a)** So sánh \(\frac{MA}{MB}\) và \(\frac{DA}{DB}\):
- Theo định nghĩa trung tuyến, \(AD\) chia \(BC\) thành hai đoạn bằng nhau, tức là \(BD = DC\). Suy ra,
\[
\frac{MA}{MB} = \frac{DA}{DB}
\]

- **b)** Chứng minh rằng \(MN\) song song với \(BC\):
- Vì \(M\) và \(N\) là các điểm trên \(AB\) và \(AC\) tương ứng với đường phân giác, nên \(MN\) sẽ song song với \(BC\).

- **c)** Chứng minh rằng \(AM \cdot AC = AN \cdot AB\):
- Sử dụng định lý phân giác: \(\frac{AM}{MB} = \frac{AN}{NC}\).

- **d)** Chứng minh rằng \(K\) là trung điểm của \(MN\):
- Tại \(K\) là điểm giao nhau giữa hai đường thẳng nên nó chia \(MN\) thành hai đoạn bằng nhau.

### 2. Cho △ABC có đường trung tuyến \(AM\) và \(MD\) là đường phân giác trong △\(MAB\).
- **a)** Chứng minh \(EA\) và \(EC\) tỷ lệ với \(MB\):
- Dựa vào tính chất của tỷ lệ trong các đường trung tuyến và phân giác.

- **b)** Chứng minh \(ME\) là đường phân giác trong △\(MAC\):
- Sử dụng định lý liên quan đến đường phân giác.

### 3. Cho △ABC vuông tại \(A\) và \(AB < AC\).
- **a)** Có hai đường vuông góc với \(AM\) tại \(A\) cắt \(BC\) tại \(D\):
- Chứng minh rằng \(AB\) là tia phân giác của \(\angle DAH\).

- **b)** Chứng minh rằng \(BH \cdot CD = BD \cdot CH\):
- Dùng định lý trong một tam giác vuông.

### 4. Cho tam giác \(ABC\), các đường phân giác \(BE\), \(CF\) giao nhau tại \(I\).
- **a)** Chứng minh rằng \(\frac{DI}{DA} + \frac{EI}{EB} + \frac{FI}{FC} = 1\):
- Sử dụng định lý phân giác cho các đoạn thẳng và tỷ lệ.

Từng bước này sẽ giúp hoàn thành bài toán trên và xác minh các mối quan hệ trong tam giác.