Cho tam giác ABC cân tại A có đường cao AH

Để chứng minh các yêu cầu trong bài toán:

1. **Tam giác ABH = tam giác ACH**:
- Tam giác ABC cân tại A, do đó AB = AC.
- AH là đường cao, tức là góc AHB = góc AHC (cùng vuông).
- Do đó, theo Định lý đồng dạng tam giác (cạnh – cạnh – góc), ta có:
\[
\triangle ABH \cong \triangle ACH.
\]

2. **Chứng minh rằng AB // CD với AH = HD**:
- Ta có điểm D nằm ngoài tam giác ABC, sao cho AH = HD.
- Lịch sử hai tam giác ABH và ACH đã chứng minh rằng chúng bằng nhau. Nếu thả điểm D xuống dưới cùng một đường thẳng với A và H thì đoạn thẳng CD song song với AB.

3. **Tam giác ABCD là hình thoi**:
- Nếu AB // CD, và AH = HD, thì các cạnh AD và BC cũng bằng nhau (AD = BC). Do đó, theo tính chất của hình thoi, ta suy ra rằng ABCD là hình thoi.

Như vậy, bài toán được chứng minh.