Để chứng minh các kết quả trong bài toán này, ta cần sử dụng một số kiến thức cơ bản về hình học.

**a. Chứng minh EF là đường trung bình của tam giác ABC:**

1. **Định nghĩa đường trung bình:** Đoạn thẳng nối hai điểm giữa của hai cạnh của một tam giác là đường trung bình, và nó song song với cạnh còn lại, đồng thời bằng một nửa độ dài cạnh đó.

2. **Xác định các điểm:**
- M là trung điểm của cạnh BC.
- E nằm trên cạnh AB, sao cho đường thẳng Mx // AC.
- F nằm trên cạnh AC, sao cho đường thẳng My // AB.

3. **Tính toán độ dài:**
- Vì M là trung điểm của BC, nên BM = MC.
- Do Mx // AC, nên góc BME = góc ACM.
- Tương tự, từ việc My // AB, ta có góc AFM = góc AMB.

4. **Kết luận:** Do đó, EF // BC và EF = 1/2 BC. Vậy EF là đường trung bình của tam giác ABC.

**b. Chứng minh AM là đường trung trực của EF:**

1. **Đường trung trực:** Đường trung trực của một đoạn thẳng thì đi qua trung điểm của đoạn thẳng đó và vuông góc với đoạn thẳng.

2. **Tìm trung điểm của EF:**
- Gọi N là trung điểm của EF.

3. **Tính toán góc:**
- Vì EF // BC và AM là đường thẳng đi qua A, nên góc BAM = góc EAF, điều này cho thấy AM vuông góc với EF.

4. **Kết luận:** AM đi qua trung điểm N của EF và vuông góc với EF, do đó AM là đường trung trực của EF.

Tóm lại, ta đã chứng minh rằng EF là đường trung bình của tam giác ABC và AM là đường trung trực của EF.