Để giải bài toán này, ta sẽ thực hiện theo từng bước để chứng minh các yêu cầu của bài.

1. **Chứng minh \( OH \) vuông góc với \( AC \)**:

- Do \( O \) là tâm của đường tròn và \( H \) là hình chiếu của \( O \) lên dây \( AC \), tỷ lệ này có điểm chính giữa. Theo tính chất của hình chiếu, \( OH \) vuông góc với \( AC \).

2. **Chứng minh \( OH \) song song với \( BC \)**:

- Từ điều kiện \( OH \) vuông góc với \( AC \), ta thấy rằng nếu \( BC \) là một dây cung của đường tròn tồn tại, thì đường thẳng \( BC \) sẽ không đi qua \( H \), và sẽ nằm song song với \( OH \) vì \( OH \) và \( AC \) là hai đường thẳng vuông góc. Do đó, ta có:
\[
OH \parallel BC
\]

3. **Tiếp tuyến tại \( AC \) của đường tròn \( (O) \) cắt \( OH \) tại \( M \)**:

- Tiếp tuyến tại một điểm \( A \) trên đường tròn là một đường thẳng mà tại điểm đó, đường tròn không có mặt phẳng tiếp xúc. Theo đặc tính, \( OA \) vuông góc với tiếp tuyến tại \( A \).
- Do đã có \( OH \) vuông góc với \( AC \), nên \( OA \) cũng sẽ vuông góc với \( OH \).

4. **Chứng minh \( MA \) là tiếp tuyến của đường tròn \( (O) \)**:

- Theo định nghĩa, nếu \( MA \) vuông góc với \( OA \) tại \( A \), nghĩa là:
\[
\angle OAH = 90^\circ
\]
- Điều này chứng tỏ rằng \( MA \) là tiếp tuyến tại điểm \( A \).

Từ các bước này, chúng ta đã chứng minh được các yêu cầu của bài tập.