Để chứng minh các yếu tố mà bạn đã đặt ra trong tam giác cân \( ABC \) với \( AB = AC \) và đường cao \( AH \) cắt \( BC \) tại \( H \), ta tiến hành như sau:

**1. Chứng minh \( \triangle AMH \cong \triangle ANH \):**

Trong tam giác \( ABC \), áp dụng tính chất của tam giác cân, ta có:
- \( AB = AC \) (Giả thiết)
- \( AH \) là đường cao, suy ra \( \angle AHB = \angle AHC = 90^\circ \).

Khi kẻ \( HM \) vuông góc với \( AB \) tại \( M \) và \( HN \) vuông góc với \( AC \) tại \( N \):
- \( \angle AMH = 90^\circ \) và \( \angle ANH = 90^\circ \) (do chúng là góc vuông).
- \( AM = AN \) (do AB = AC, và M, N lần lượt nằm trên hai cạnh AB và AC).

Từ các yếu tố trên, ta có:
- \( \triangle AMH \cong \triangle ANH \) theo tiêu chuẩn \( \text{G-H-H} \) (góc vuông – cạnh huyền – cạnh).

**2. Chứng minh \( \triangle MBH \cong \triangle NCH \):**

Xét các tam giác:
- Trong \( \triangle MBH \) và \( \triangle NCH \):
- \( \angle MBH = \angle NCH \) (do \( AB = AC \) và góc đối diện là bằng nhau).
- \( BH = CH \) (do \( H \) là trung điểm của \( BC \)).
- \( HM = HN \) (do \( HM \) và \( HN \) là hai đoạn vuông góc với các cạnh tương ứng của tam giác).

Kết luận, ta có:
- \( \triangle MBH \cong \triangle NCH \) theo tiêu chuẩn \( \text{G-H-H} \).

**3. Chứng minh \( HA \) là tia phân giác của góc \( MHN \):**

Do \( \triangle AMH \cong \triangle ANH \), ta suy ra:
- \( AM = AN \) và \( \angle AMH = \angle ANH \).

Do đó, ở đỉnh \( A \):
- \( HA \) là tia phân giác của góc \( MHN \) (vì nó chia góc \( MHN \) thành hai góc bằng nhau).

Tóm lại:
- Đã chứng minh rằng \( \triangle AMH \cong \triangle ANH \).
- Đã chứng minh rằng \( \triangle MBH \cong \triangle NCH \).
- Đã chứng minh rằng \( HA \) là tia phân giác của góc \( MHN \).

Chứng minh đã hoàn tất.