Để giải bài tập này, chúng ta sẽ đi qua từng yêu cầu một.

### a) Chứng minh \( AD = BC \)

1. **Xét hệ tọa độ**:
Giả sử điểm \( O \) là gốc tọa độ \( (0,0) \), \( A(a, 0) \), \( B(b, 0) \), \( C(c, 0) \), \( D(d, 0) \).
Theo giả thiết, ta có \( OA = OB \) và \( AC = BD \).

2. **Độ dài các đoạn**:
- \( OA = a \)
- \( OB = b \)
- \( AC = c - a \)
- \( BD = d - b \)

3. **Áp dụng điều kiện**:
Từ \( OA = OB \) ta có \( a = b \) và từ \( AC = BD \) ta có \( c - a = d - b \).
Thay \( b \) bằng \( a \):
\[
c - a = d - a \implies c = d
\]

4. **Vì vậy**, \( AD = AB + BD = a + d - b = c \).

Như vậy, \( AD = BC \).

### b) Gọi \( E \) là giao điểm của \( AD \) và \( BC \). Chứng minh \( \Delta AEC = \Delta EBD \)

1. **Hình dạng của tam giác**:
\( E \) là giao điểm nên:
- \( AE = ED = x \)
- \( CE = DB = y \)

2. **Sử dụng định nghĩa của các tam giác**:
Ta có:
- Cạnh tương ứng:
\( AC = BD \)
- Độ dài hai cặp cạnh:
\( AE = ED \) và \( CE = DB \)

3. **Áp dụng Định lý Tam giác**:
Vậy, \( \Delta AEC \cong \Delta EBD \) theo yếu tố cạnh - cạnh - cạnh (SSS).

### c) Chứng minh \( OE \) là phân giác của góc \( xOy \) và \( OE \perp CD \)

1. **Góc phân giác**:
- Nhận thấy rằng \( OA = OB \) và \( AC = BD \) tạo thành hai tam giác cân.
- Do đó, \( OE \) sẽ chia \( \angle AOB \) thành hai góc bằng nhau, tức là \( OE \) là phân giác của \( \angle xOy \).

2. **Tính chất vuông góc**:
- Do ở \( E \) mà \( C \) và \( D \) đều nằm trên đường thẳng vuông góc với \( OE \), ta có \( OE \perp CD \).

Hy vọng cách giải này giúp bạn hiểu rõ hơn về các bài toán hình học này!