### Bài 1:

Chúng ta có tam giác \( ABC \) cân tại \( A \) với \( \angle A = 40^\circ \). Do đó, các góc ở \( B \) và \( C \) sẽ bằng nhau.

\[
\angle B = \angle C = \frac{180^\circ - \angle A}{2} = \frac{180^\circ - 40^\circ}{2} = \frac{140^\circ}{2} = 70^\circ
\]

Bây giờ, ta cóến cấu trúc của tam giác:

- \( \angle A = 40^\circ \)
- \( \angle B = 70^\circ \)
- \( \angle C = 70^\circ \)

Tiếp theo, chúng ta tìm điểm \( D \) là giao điểm của đường trung trực của đoạn thẳng \( AB \) với đoạn thẳng \( BC \). Đặc điểm của đường trung trực là nó sẽ tạo thành hai đoạn thẳng bằng nhau từ điểm \( D \) đến hai điểm \( A \) và \( B \).

Để tính góc \( CAD \), chúng ta xem xét tam giác \( ADB \):

- Vì \( D \) nằm trên đường trung trực \( AB \), nên \( AD = DB \).
- \( \angle ADB \) sẽ bằng \( 90^\circ \) do tính chất của đường trung trực.

Từ đó, ta có:

\[
\angle DAB = \frac{\angle ADB - \angle A}{2} = \frac{90^\circ - 40^\circ}{2} = \frac{50^\circ}{2} = 25^\circ
\]

Kết hợp lại, chúng ta có thể tính được:

\[
\angle CAD = \angle DAB = 25^\circ
\]

**Kết luận**: \( \angle CAD = 25^\circ \).

---

### Bài 2:

Cho tam giác \( ABC \) vuông tại \( A \) với \( \angle C = 30^\circ \). Điều này có nghĩa rằng \( \angle B = 90^\circ - \angle C = 60^\circ \).

Chúng ta cần chứng minh rằng đường trung trực của đoạn thẳng \( BC \) cắt \( AC \) tại \( M \) thì \( BM \) là tia phân giác của góc \( ABC \).

1. **Vẽ hình**: Vẽ tam giác \( ABC \) với \( C \) là điểm vuông góc, và dấu các góc như đã nói.

2. **Tính độ dài**: Gọi \( E \) là trung điểm của đoạn thẳng \( BC \). Theo định nghĩa của đường trung trực, \( M \) phải nằm trên đoạn \( AC \) sao cho \( BM = MC \).

3. **Chứng minh**:
- Bởi \( M \) là trung điểm của đoạn thẳng \( BC \), có nghĩa là \( BM = MC \).
- Từ hình vẽ, rõ ràng \( A \) là một điểm trên đường trung trực của \( BC \), và ta có thể nhận thấy \( \triangle ABM \) và \( \triangle ACM \) là hai tam giác đối xứng qua đường trung trực \( BC \).

4. **Sử dụng tính chất góc**:
- Ta có \( \angle ABM = \angle ACM \) do tính chất tam giác vuông và đồng thời góc này là một góc vuông.

Cuối cùng, từ tính chất của tia phân giác và các góc đã xác định, ta dễ dàng đưa ra kết luận rằng \( BM \) là tia phân giác của góc \( ABC \).

**Kết luận**: \( BM \) là tia phân giác của góc \( ABC \).