Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:

Để tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức \( A = |x - 1| + |2x - 1| + |3x + 1| \), ta sẽ phân tích biểu thức này theo từng trường hợp của \( x \) để xác định các điểm mà tại đó các phần của biểu thức thay đổi.

Chúng ta xác định các điểm tại đó các giá trị tuyệt đối thay đổi:

1. \( x - 1 = 0 \) \( \Rightarrow x = 1 \)
2. \( 2x - 1 = 0 \) \( \Rightarrow x = \frac{1}{2} \)
3. \( 3x + 1 = 0 \) \( \Rightarrow x = -\frac{1}{3} \)

Các giá trị quan trọng mà chúng ta sẽ kiểm tra là \( x = -\frac{1}{3} \), \( x = \frac{1}{2} \) và \( x = 1 \). Giữa các điểm này, chúng ta sẽ xét dấu của từng biểu thức trong phần giá trị tuyệt đối.

Chia khoảng và tính \( A \):

1. **Khoảng \( (-\infty, -\frac{1}{3}) \)**:
- \( |x - 1| = 1 - x \)
- \( |2x - 1| = 1 - 2x \)
- \( |3x + 1| = -3x - 1 \)

Vậy
\[
A = (1 - x) + (1 - 2x) + (-3x - 1) = -6x + 1
\]

2. **Khoảng \( [-\frac{1}{3}, \frac{1}{2}) \)**:
- \( |x - 1| = 1 - x \)
- \( |2x - 1| = 1 - 2x \)
- \( |3x + 1| = 3x + 1 \)

Vậy
\[
A = (1 - x) + (1 - 2x) + (3x + 1) = 3x + 1
\]

3. **Khoảng \( [\frac{1}{2}, 1) \)**:
- \( |x - 1| = 1 - x \)
- \( |2x - 1| = 2x - 1 \)
- \( |3x + 1| = 3x + 1 \)

Vậy
\[
A = (1 - x) + (2x - 1) + (3x + 1) = 4x + 1
\]

4. **Khoảng \( [1, \infty) \)**:
- \( |x - 1| = x - 1 \)
- \( |2x - 1| = 2x - 1 \)
- \( |3x + 1| = 3x + 1 \)

Vậy
\[
A = (x - 1) + (2x - 1) + (3x + 1) = 6x - 1
\]

Sau khi có các phần của \( A \), ta sẽ tính giá trị tại các điểm:

- Tại \( x = -\frac{1}{3} \):
\[
A = -6 \cdot \left(-\frac{1}{3}\right) + 1 = 2 + 1 = 3
\]

- Tại \( x = \frac{1}{2} \):
\[
A = 3 \cdot \left(\frac{1}{2}\right) + 1 = \frac{3}{2} + 1 = \frac{5}{2}
\]

- Tại \( x = 1 \):
\[
A = 4 \cdot 1 + 1 = 4 + 1 = 5
\]

Bây giờ, so sánh các giá trị:

- Tại \( x = -\frac{1}{3} \): \( A = 3 \)
- Tại \( x = \frac{1}{2} \): \( A = \frac{5}{2} \)
- Tại \( x = 1 \): \( A = 5 \)

Giá trị nhỏ nhất là:
\[
A_{\text{min}} = \frac{5}{2}
\]

**Vậy giá trị nhỏ nhất của biểu thức là \( \frac{5}{2} \)**.