Để chứng minh các tính chất của hình vuông ABCD và các điểm M, N, P, Q, chúng ta sẽ tiến hành theo từng phần như đề bài yêu cầu.

### a) Chứng minh MB = NC = PD = QA.

Giả sử cạnh của hình vuông ABCD là \( a \).
- Điểm M nằm trên cạnh AB, nên \( AM = x \). Do đó, \( MB = AB - AM = a - x \).
- Điểm N nằm trên cạnh BC, nên \( BN = x \). Do đó, \( NC = BC - BN = a - x \).
- Điểm P nằm trên cạnh CD, nên \( CP = x \). Do đó, \( PD = CD - CP = a - x \).
- Điểm Q nằm trên cạnh DA, nên \( DQ = x \). Do đó, \( QA = DA - DQ = a - x \).

Từ đó, ta có:
- \( MB = a - x \)
- \( NC = a - x \)
- \( PD = a - x \)
- \( QA = a - x \)

Vậy ta có \( MB = NC = PD = QA \).

### b) Chứng minh tam giác QAM = tam giác NCP.

Ta dùng cách chứng minh đồng dạng của hai tam giác:

1. **Tam giác QAM:**
- Cạnh \( QA \) (cạnh chung với tam giác NCP) = \( a - x \).
- Cạnh \( AM = x \).
- Góc \( \angle QAM \) là góc vuông (do hình vuông).

2. **Tam giác NCP:**
- Cạnh \( NC \) (cạnh chung với tam giác QAM) = \( a - x \).
- Cạnh \( CP = x \).
- Góc \( \angle NCP \) cũng là góc vuông (do hình vuông).

Do đó, ta có:
- \( QA = NC \) (đã chứng minh ở phần a).
- \( AM = CP \).
- Hai góc vuông ( \( \angle QAM = \angle NCP = 90^\circ \)).

Vì vậy, theo tiêu chí góc-cạnh-góc, chúng ta suy ra:
\[
\triangle QAM \sim \triangle NCP
\]

### c) Chứng minh MNPQ là hình vuông.

Để chứng minh rằng MNPQ là hình vuông, chúng ta cần chứng minh rằng tất cả các cạnh của MNPQ đều bằng nhau và các góc đều bằng \( 90^\circ \).

- **Cạnh MB = NC = PD = QA = a - x** (từ phần a).

- **Các góc:**
- Góc \( \angle MNP \) là góc vuông, do điểm M nằm trên cạnh AB, N trên cạnh BC (2 đường thẳng vuông góc).
- Tương tự cho các góc \( \angle NPQ \), \( \angle PQA \), và \( \angle QMB \).

Vậy do vừa có 4 cạnh bằng nhau và 4 góc vuông, ta có thể kết luận rằng MNPQ là hình vuông.

### Kết luận:
- Chứng minh rằng \( MB = NC = PD = QA \) đã hoàn thành.
- Tam giác \( QAM \) và \( NCP \) đã được chứng minh là đồng dạng.
- MNPQ đã được chứng minh là hình vuông.

Hy vọng bạn sẽ hoàn thành điểm bài tập của mình!