Để giải phương trình \(x^2 y + 1 = x^2 + 2xy + 2x + y\), đầu tiên ta sắp xếp lại các hạng tử.

Ta có thể viết lại phương trình như sau:

\[
x^2 y - 2xy - y = x^2 + 2x - 1
\]

Hay là:

\[
y(x^2 - 2x - 1) = x^2 + 2x - 1
\]

Bây giờ, nếu \(x^2 - 2x - 1 \neq 0\), ta có thể đem \(y\) sang một bên:

\[
y = \frac{x^2 + 2x - 1}{x^2 - 2x - 1}
\]

Ta sẽ xét trường hợp \(x^2 - 2x - 1 = 0\):

Giải phương trình bậc 2 này:

\[
x^2 - 2x - 1 = 0 \implies x = 1 \pm \sqrt{2}
\]

Do đó, không có nghiệm nguyên nào từ trường hợp này, vì \(1 \pm \sqrt{2}\) không phải là số nguyên.

Bây giờ ta quay lại với công thức cho \(y\):

\[
y = \frac{x^2 + 2x - 1}{x^2 - 2x - 1}
\]

Để \(y\ là nguyên, tử và mẫu phải chia hết cho nhau. Điều này dẫn đến việc ta cần \(x^2 + 2x - 1\) chia hết cho \(x^2 - 2x - 1\).

Xét \(y = k\) là một số nguyên, với \(k = \frac{x^2 + 2x - 1}{x^2 - 2x - 1}\), và tìm các \(x\) sao cho \(y\ là một số nguyên.

Tiếp theo, ta sẽ kiểm tra một số giá trị nguyên của \(x\):

1. **Nếu \(x = 0\)**:
\[
y = \frac{0 + 0 - 1}{0 - 0 - 1} = 1
\]
Kết quả là nghiệm nguyên \((0, 1)\).

2. **Nếu \(x = 1\)**:
\[
y = \frac{1 + 2 - 1}{1 - 2 - 1} = \frac{2}{-2} = -1
\]
Kết quả là nghiệm nguyên \((1, -1)\).

3. **Nếu \(x = 2\)**:
\[
y = \frac{4 + 4 - 1}{4 - 4 - 1} = \frac{7}{-1} = -7
\]
Kết quả là nghiệm nguyên \((2, -7)\).

4. **Nếu \(x = -1\)**:
\[
y = \frac{1 - 2 - 1}{1 + 2 - 1} = \frac{-2}{2} = -1
\]
Kết quả là nghiệm nguyên \((-1, -1)\).

5. **Nếu \(x = -2\)**:
\[
y = \frac{4 - 4 - 1}{4 + 4 - 1} = \frac{-1}{7} \text{ (không nguyên)}
\]

Ta sẽ tiếp tục kiểm tra các giá trị khác của \(x\) bằng cách thay vào công thức cho \(y\) cho đến khi tìm được quy luật hoặc không tìm thêm được nghiệm nào.

Từ các kết quả thử nghiệm trên, nghiệm nguyên của phương trình \(x^2 y + 1 = x^2 + 2xy + 2x + y\) là:

\[
(0, 1), (1, -1), (2, -7), (-1, -1)
\]

Tổng hợp lại, các nghiệm nguyên của phương trình là:

\[
(0, 1), (1, -1), (2, -7), (-1, -1)
\]