Tìm các số nguyên x;y, thỏa mãn x^2 *y +4xy-x+4y-1=0

Để giải phương trình \( x^2 y + 4xy - x + 4y - 1 = 0 \), chúng ta có thể viết lại như sau:

\[
x^2 y + (4x + 4)y - x - 1 = 0
\]

Từ đó, chúng ta có thể nhóm các hạng tử theo \( y \):

\[
y(x^2 + 4x + 4) = x + 1
\]

Vậy nên, nếu \( x^2 + 4x + 4 \neq 0 \) (tức là \( (x + 2)^2 \neq 0 \) hay \( x \neq -2 \)), ta có thể biểu diễn \( y \):

\[
y = \frac{x + 1}{x^2 + 4x + 4} = \frac{x + 1}{(x + 2)^2}
\]

Chúng ta cần tìm các giá trị nguyên của \( x \) để \( y \) cũng là một số nguyên. Đặt \( n = (x + 2)^2 \), ta suy ra:

\[
y = \frac{x + 1}{n}
\]

Và \( n \) phải chia hết cho \( x + 1 \). Từ đây ta có:

\[
n = k(x + 1) \quad \text{với } k \in \mathbb{Z}
\]

Bây giờ ta thay \( n \) vào phương trình:

\[
(x + 2)^2 = k(x + 1)
\]

Dễ dàng khai triển và đưa về phương trình bậc hai theo biến \( x \):

\[
x^2 + 4x + 4 = kx + k
\]
\[
x^2 + (4 - k)x + (4 - k) = 0
\]

Để phương trình này có nghiệm nguyên, thì biệt thức của phương trình bậc hai này phải là một số chính phương:

\[
D = (4 - k)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (4 - k)
\]
\[
= (4 - k)^2 - 16 + 4k
\]
\[
= k^2 - 2k - 12
\]

Giải phương trình \( k^2 - 2k - 12 = m^2 \) cho mỗi giá trị nguyên \( m \) sẽ cho chúng ta giá trị của \( k \). Chúng ta thử các giá trị của \( k \) và kiểm tra nghiệm tương ứng của \( x \):

1. **Với** \( k = 0 \):

\[
x^2 + 4x + 4 = 0 \Rightarrow (x + 2)^2 = 0 \Rightarrow x = -2 \Rightarrow y = 0
\]

2. **Với** \( k = 1 \):

\[
x^2 + 3x + 3 = 0 \text{ (không có nghiệm nguyên)}
\]

3. **Với** \( k = 2 \):

\[
x^2 + 2x + 2 = 0 \text{ (không có nghiệm nguyên)}
\]

4. **Với** \( k = 3 \):

\[
x^2 + x + 1 = 0 \text{ (không có nghiệm nguyên)}
\]

5. **Với** \( k = 4 \):

\[
x^2 + 0x + 0 = 0 \Rightarrow x = 0 \Rightarrow y = \frac{1}{4} \text{ (không nguyên)}
\]

6. **Với** \( k = 5 \):

\[
x^2 - x - 1 = 0 \text{ (không có nghiệm nguyên)}
\]

7. **Với** \( k = 6 \):

\[
x^2 - 2x - 2 = 0 \text{ (không có nghiệm nguyên)}
\]

8. **Với** \( k = 7 \):

\[
x^2 - 5x - 1 = 0 \text{ (không có nghiệm nguyên)}
\]

9. **Với** \( k = 8 \):

\[
x^2 - 8x + 0 = 0 \Rightarrow x(x - 8) = 0 \Rightarrow x = 0 \text{ hoặc } x = 8 \Rightarrow y = \frac{1}{8} \text{ (không nguyên)}
\]

Sau khi thử nghiệm với một số giá trị khác nhau, cuối cùng ta chỉ tìm được nghiệm nguyên:

- \( (x, y) = (-2, 0) \)

Vậy nghiệm nguyên của phương trình là:

\[
(x, y) = (-2, 0)
\]