Tìm giới hạn \(M\). \(A(x) = x^2 - 4x + 5\) \(B(x) = x^2 + y^2 - 2x + 6y + 12\)

Để tìm giới hạn \( M \) từ các biểu thức \( A(x) \) và \( B(x, y) \), ta có thể phân tích và tính toán như sau:

1. **Tính hàm \( A(x) \)**:
\[
A(x) = x^2 - 4x + 5
\]
Đây là một hàm bậc hai có hình dạng \( ax^2 + bx + c \). Để tìm cực tiểu, ta có thể tính đạo hàm:
\[
A'(x) = 2x - 4
\]
Giải phương trình \( A'(x) = 0 \):
\[
2x - 4 = 0 \Rightarrow x = 2
\]
Tính giá trị tại \( x = 2 \):
\[
A(2) = 2^2 - 4 \cdot 2 + 5 = 4 - 8 + 5 = 1
\]
Vậy giá trị nhỏ nhất của \( A(x) \) là \( 1 \).

2. **Tính hàm \( B(x, y) \)**:
\[
B(x, y) = x^2 + y^2 - 2x + 6y + 12
\]
Ta cũng có thể nhóm các hạng tử để tìm cực tiểu:
\[
B(x, y) = (x^2 - 2x) + (y^2 + 6y) + 12
\]
Đối với phần \( x \):
\[
x^2 - 2x = (x - 1)^2 - 1
\]
Đối với phần \( y \):
\[
y^2 + 6y = (y + 3)^2 - 9
\]
Thay vào \( B(x, y) \):
\[
B(x, y) = \left((x - 1)^2 - 1\right) + \left((y + 3)^2 - 9\right) + 12
\]
\[
= (x - 1)^2 + (y + 3)^2 + 2
\]
Để \( B(x, y) \) đạt giá trị nhỏ nhất, \( (x - 1)^2 \) và \( (y + 3)^2 \) đều phải bằng \( 0 \). Điều này xảy ra khi \( x = 1 \) và \( y = -3 \).

Tại đó, giá trị của \( B \) là:
\[
B(1, -3) = 0 + 0 + 2 = 2
\]

Giới hạn \( M \) của \( A(x) \) và \( B(x, y) \) là:
\[
M = \min\{ A(2), B(1, -3) \} = \min\{ 1, 2 \} = 1
\]

Vậy giới hạn \( M \) là \( 1 \).