a. Để chứng minh tứ giác MNPQ là hình bình hành, ta sẽ chứng minh rằng hai cặp cạnh đối diện của tứ giác MNPQ bằng nhau.

Gọi \( M, N, P, Q \) lần lượt là trung điểm của các cạnh \( AB, BC, CD, DA \).

- Ta có:
- \( M \) là trung điểm của \( AB \) ⇒ \( AM = MB \)
- \( N \) là trung điểm của \( BC \) ⇒ \( BN = NC \)
- \( P \) là trung điểm của \( CD \) ⇒ \( CP = PD \)
- \( Q \) là trung điểm của \( DA \) ⇒ \( DQ = QA \)

Sử dụng định lý về trung điểm trong tứ giác, ta sẽ có:

- Đường chéo \( MN \) nối hai trung điểm \( M \) và \( N \):
\[
MN = \frac{1}{2}(AC)
\]

- Đường chéo \( PQ \) nối hai trung điểm \( P \) và \( Q \):
\[
PQ = \frac{1}{2}(AC)
\]

Tương tự, ta có:

- Đoạn \( MP \) nối hai trung điểm \( M \) và \( P \):
\[
MP = \frac{1}{2}(BD)
\]

- Đoạn \( NQ \) nối hai trung điểm \( N \) và \( Q \):
\[
NQ = \frac{1}{2}(BD)
\]

Vì \( MN \parallel PQ \) và \( MP \parallel NQ \) (vì cả hai cặp cạnh đối diện đều song song và bằng nhau), suy ra tứ giác \( MNPQ \) là hình bình hành.

b. Để tứ giác \( MNPQ \) trở thành hình chữ nhật, tứ giác \( ABCD \) phải có một điều kiện nhất định:

Tứ giác \( ABCD \) phải là hình thang vuông (có một cặp cạnh đối diện song song và một trong hai góc phải vuông), hoặc tứ giác \( ABCD \) phải là hình bình hành (có bốn cạnh đối diện bằng nhau và hai cặp cạnh đối diện song song) và các góc của nó phải là các góc vuông.

Cụ thể:
- Khi \( ABCD \) là hình chữ nhật thì \( MNPQ \) cũng sẽ là hình chữ nhật.
- Nếu \( ABCD \) là hình thang vuông thì \( MNPQ \) cũng sẽ là hình chữ nhật.

Vì vậy, điều kiện cần để tứ giác \( MNPQ \) là hình chữ nhật là:
- Tứ giác \( ABCD \) là hình chữ nhật.