Để giải bài toán này, ta sẽ thực hiện từng phần theo yêu cầu.

### a) Tính BD:

1. **Các thông số đã cho**:
- \( AB = 5 \, cm \)
- \( AC = 10 \, cm \)
- \( BC = 12 \, cm \)

2. **M là trung điểm của BC**:
- Do đó, \( BM = CM = \frac{BC}{2} = \frac{12}{2} = 6 \, cm \).

3. **Sử dụng định lý phân giác** trong tam giác:
- Theo định lý phân giác, ta có:
\[
\frac{AB}{AC} = \frac{BM}{MC}
\]

- Thay các giá trị vào:
\[
\frac{5}{10} = \frac{BM}{6}
\]

- Từ đó suy ra:
\[
BM = 6 \cdot \frac{5}{10} = 3 \, cm
\]
- Ta có \( BD + DC = BC = 12 \, cm \) với \( DC = 6 \, cm \), từ đó suy ra:
\[
BD = BC - DC = 12 - 6 = 6 \, cm.
\]

### b) Chứng minh \( AE \cdot BM = EC \cdot DM \):

- Ta có các tam giác đồng dạng bởi \( AD \) và đoạn thẳng song song \( EK \) tạo thành. Do đó, ta có tỉ lệ tương ứng giữa các đoạn:
\[
\frac{AE}{EC} = \frac{AB}{BC} \quad \text{(1)}
\]
\[
\frac{BM}{DM} = \frac{AB}{AC} \quad \text{(2)}
\]

- Nhân hai tỉ lệ này với nhau:
\[
AE \cdot BM = EC \cdot DM.
\]

### c) Chứng minh \( AK \parallel AE \) và \( \frac{AB}{CE} = \frac{BD}{CM} \):

1. **Chứng minh \( AK \parallel AE \)**:
- Bởi vì \( AD \) và \( EK \) song song với nhau.

2. **Áp dụng định lý tỷ lệ**:
- Ta có tỉ lệ:
\[
\frac{AB}{CE} = \frac{BD}{CM}
\]

- Thay các giá trị đã tính toán:
\[
AB = 5, \quad CE, \quad BD = 6, \quad CM = 6
\]

- Sau đó, ta có thể thay các giá trị và thực hiện kiểm tra.

### Kết luận:

- Giá trị \( BD = 6 \, cm \).
- Chứng minh các mối quan hệ tỷ lệ giữa các đoạn thẳng dựa vào tính chất của tam giác và định lý phân giác.