Để chứng minh rằng \( OE = OF \) trong hình thang \( ABCD \) với \( AB \parallel CD \) và \( O \) là giao điểm của \( AC \) và \( BD \), ta thực hiện như sau:

1. **Xác định các yếu tố hình học:**
- Gọi \( E \) và \( F \) lần lượt là giao điểm của đường thẳng \( a \) (kẻ qua \( O \)) với \( AB \) và \( CD \).

2. **Sử dụng tính chất của hình thang:**
- Bởi vì \( AB \parallel CD \), nên khi kẻ đường thẳng \( a \) song song với \( AB \) và \( CD \), ta có các góc đối diện (góc trong cùng phía) sẽ bằng nhau:
- \( \angle OEA = \angle OFC \)
- \( \angle OAB = \angle OCD \)

3. **Áp dụng định lý Thales:**
- Từ việc có các góc bằng nhau trên các đoạn thẳng song song, ta có thể sử dụng định lý Thales để suy ra rằng hai đoạn thẳng \( OE \) và \( OF \) tỉ lệ thuận với hai đoạn thẳng phân chia bởi các phổ số.
- Do đó, \( \frac{OE}{AB} = \frac{OF}{CD} \).

4. **Kết luận:**
- Vì độ dài của \( AB \) và \( CD \) bằng nhau (do \( ABCD \) là hình thang), ta có \( OE = OF \).

Từ các bước trên, ta đã chứng minh được rằng \( OE = OF \).