a) Xét tam giác ABC có M,N lần lượt là trung điểm của AC và AB
=> MN là đường trung bình của tam giác ABC
Xét tam giác ABC có MA=MB(gt); DB=DC(AD là trung tuyến)=> MD là đường trung bình của tam giác ABC
Xét tam giác ABC có NA=NC(gt); DB=DC(AD là trung tuyến)=> DN là đường trung bình của tam giác ABC
b) Xét tứ giác BCMN có MN//BC(MN là đường trung bình của tam giác ABC)=> BCMN là h.thang
                                                                                                  mà góc NBC= góc MCB(Tam giác ABC cân tại A)
                                                                                                     nên  BCMN là h.thang cân
Xét tứ giác ADCE có: MA=MC(gt);MD=ME( E là điểm đối xứng với D qua M)
=> ADCE là hbh(1)
Xét tam giác ABc cân tại A có AD là đường trung tuyến => AD đồng thời là đường cao.=> AD vuông góc với BC=> góc ADC=90(2)
Từ (1) và (2)=> ADCE là hcn
Ta có: AE=DC; AE//DC(ADCE là hcn)
mà DB=DC(AD là trung tuyến)
nên AE=DB; AE//DB
=> AEDB là hbh
Có DN là đường trung bình của tam giác ABC=> DN=1/2AC mà AM=1/2AC(M là trung điểm của AC)
                                                                                                       nên DN=AM(3)
Lại có: MD là đường trung bình của tam giác ABC=> DM=1/2AB mà AN=1/2AB(N là trung điểm của AB)
                                                                                                         nên DM=AN(4)
Từ (3) và (4)=> AMDN là hbh
lại có: AM=AN(AB=AC(tam giác ABC cân tại A); AM=1/2AC; AN=1/2AB)
=> AMDN là hthoi.
c) Gọi O là giao điểm của hai đường chéo AD và MN trong hình thoi AMDN.
Lại có: O là giao điểm của 2 đường chéo Ad và BE trong hbh AEDB
=> AD,MN,BE đồng quy tại O(dpcm)