xét tứ giác MPOQ ta có : MPO = 90 (MP là tiếp tuyến (o))

MQO = 90 (MQ là tiếp tuyến (o))

⇒⇒ MPO + MQO = 180

mà 2 góc này ở vị trí đối nhau

⇒⇒ tứ giác MPOQ nội tiếp

xét tứ giác MPIO ta có : MPO = 90 (MP là tiếp tuyến (o))

I là trung điểm của AB ⇒⇒ MIO = 90 (quan hệ giữa đường kính và dây cung)

mà 2 góc này cùng nhìn xuồng MO ⇒⇒ tứ giác MPIO nội tiếp

ta có 2 tứ giác nội tiếp MPOQ và MPIO cùng có 3 điểm chung M,P,O và các góc vuông đều nhìn xuống OM

⇒⇒ 5 điểm M,P,O,I,Q cùng thuộc 1 đường tròn đường kính MO ( đpcm)
 

ta có : MP = MQ (tính chất tiếp tuyến)

⇒⇒ ΔΔ MPQ là ΔΔ cân ⇒⇒ MPQ = MQP

mà MQP = MIP (2 góc nội tiếp cùng chắng cung MP)

⇒⇒ MPQ = MIP ⇔⇔ MPE = MIP

xét ΔΔ MPE và ΔΔ MIP ta có :

góc M chung

MPE = MIP (chứng minh trên)

⇒⇒ ΔΔ MPE đồng dạng ΔΔ MIP (góc-góc)

⇒⇒ MPMIMPMI = MEMPMEMP ⇔⇔ MP2 = ME.MI (đpcm)