Bài 3. Dãy số \(u_n\) cho bởi: \(u_1= 3\); \(u_{n+1}\)= \( \sqrt{1+u^{2}_{n}}\),\( n ≥ 1\).
a) Viết năm số hạng đầu của dãy số.
b) Dự đoán công thức số hạng tổng quát và chứng minh công thức đó bằng phương pháp quy nạp
Hướng dẫn giải:
a) Năm số hạng đầu của dãy số là \(3, \sqrt{10}, \sqrt{11}, \sqrt{12}, \sqrt{13}\).
b) Ta có:  \(u_1= 3 = \sqrt9 = \sqrt{(1 + 8)}\)
                \( u_2= \sqrt{10} = \sqrt{(2 + 8)}\)
                 \(u_3= \sqrt{11} = \sqrt{(3 + 8)}\)
                 \(u_4= \sqrt{12} = \sqrt{(4 + 8)}\)
                   ...........
Từ trên ta dự đoán \(u_n= \sqrt{(n + 8)}\), với \(n \in {\mathbb N}^*\)   (1)
Chứng minh công thức (1) bằng phương pháp quy nạp:
- Với \(n = 1\), rõ ràng công thức (1) là đúng.
- Giả sử (1) đúng với \(n = k ≥ 1\), tức là có  \(u_k = \sqrt{(k + 8)}\) với \(k ≥ 1\).
Theo công thức dãy số, ta có:
\(u_{k+1}\)=  \( \sqrt{1+u^{2}_{k}}=\sqrt{1+(\sqrt{k+8})^{2}}=\sqrt{(k+1)+8}\).
Như vậy công thức (1) đúng với \(n = k + 1\).
Vậy công thức (1) được chứng minh.