Bài 9. Chứng minh rằng \(\overrightarrow{AB}= \overrightarrow{CD}\) khi và chỉ khi trung điểm của hai đoạn thẳng \(AD\)  và \(BC\) trùng nhau.
Giải
Ta chứng minh hai mệnh đề.
a) Cho  \(\overrightarrow{AB}\) = \(\overrightarrow{CD}\) thì \(AD\) và \(BC\) có trung điểm trùng nhau. Gọi \(I\) là trung điểm của \(AD\) ta chứng minh \(I\) cũng là trung điểm của \(BC\).
Theo quy tắc của ba điểm của tổng, ta có 
     \(\overrightarrow{AB}= \overrightarrow{AI} + \overrightarrow{IB}\);
      \(\overrightarrow{CD}= \overrightarrow{CI}+ \overrightarrow{ID}\)
Vì \(\overrightarrow{AB} = \overrightarrow{CD}\) nên \(\overrightarrow{AI} + \overrightarrow{IB}=  \overrightarrow{CI}+ \overrightarrow{ID}\)
                           \(\Rightarrow \overrightarrow{AI} - \overrightarrow{ID} = \overrightarrow{CI} - \overrightarrow{IB}\)
                           \(\Rightarrow\overrightarrow{AI} + \overrightarrow{DI} = \overrightarrow{CI} + \overrightarrow{BI}\)              (1)
Vì \(I\) là trung điểm của \(AD\) nên  \(\overrightarrow{AI} + \overrightarrow{DI} = \overrightarrow{0}\)         (2)
Từ (1) và (2) suy ra \(\overrightarrow{CI} + \overrightarrow{BI} = \overrightarrow{0}\)                             (3)
Đẳng thức (3) chứng tỏ \(I\) là trung điểm của \(BC\).
b) \(AD\) và \(BC\)  có chung trung điểm \(I\), ta chứng minh \(\overrightarrow{AB}\) = \(\overrightarrow{CD}\).
\(I\) là trung điểm của \(AD\) \(\Rightarrow \overrightarrow{AI} + \overrightarrow{DI} = \overrightarrow{0}\)   \(\Rightarrow\overrightarrow{AI} - \overrightarrow{ID} =\overrightarrow{0}\)
\(I\) là trung điểm của \(BC\)  \(\Rightarrow \overrightarrow{CI} + \overrightarrow{BI}= \overrightarrow{0}\)    \(\Rightarrow \overrightarrow{CI} - \overrightarrow{IB}= \overrightarrow{0}\)
Suy ra  \(\overrightarrow{AI} - \overrightarrow{ID}=  \overrightarrow{CI}- \overrightarrow{IB}\) 
     \(\Rightarrow \overrightarrow{AI} + \overrightarrow{IB} = \overrightarrow{CI}+ \overrightarrow{ID}\)    \(\Rightarrow \overrightarrow{AB}= \overrightarrow{CD}\) (đpcm)