a, Xét tam giác ABC vuông tại A, ta có:

AB^2+ AC^2=BC^2 ( định lí Py-ta-go)

5^2 + 12^2 = BC^2

25 + 144 = BC^2

==> BC^2=144-25

BC^2= 119

==> BC = √119 cm

b, Nối A và E

Ta có: B là trung điểm của AD:

==> BD = AB

Xét tam giác ABE vuông tại B và tam giác DBE vuông tại B:

+ AB = BD ( cmt)

+ BE là cạnh chung

==> tam giác ABE = tam giác DBE ( CGV-CGV)

==> AE = DE ( 2 cạnh tương ứng)

Trong tam giác AED có: AE = DE ( cmt)

==> tam giác AED cân tại E

c, Xét tam giác ABK vuông tại K và tam giác DBF vuông tại F:

+ AB = DB (cmt)

+ góc ABK = góc DBF ( đối đỉnh)

==> tam giác ABK = tam giác DBF (CH-GN)

==> BK = BF ( 2 cạnh tương ứng)

mà điểm B nằm giữa F và K

==> B là trung điểm của KF

d, Từ C kẻ đường thẳng vuông góc với BE tại G

Ta có: AB vuông góc với BE tại B, CG vuông góc BE tại G:

==> AB // CG (DHNB)

==> góc ABC = góc BCG ( 2 góc so le trong)

Xét tam giác ABC vuông tại A và tam giác GCB vuông tại G:

+ góc ABC = góc BCG (Cmt)

+ BC là cạnh chung

==> tam giác ABC vả tam giác GCB ( CH-GN)

==> AB = CG ( 2 cạnh tương ứng)

mà AB = BD (cmt)

==> BD = CG

Trong tam giác BDE vuông tại B có: góc BDE + góc DBE + góc BED = 180 độ ( định lí tổng 3 góc trong tam giác ) (1)

Trong tam giác CEG vuông tại G có: góc ECG + góc CGE + góc GEC = 180 độ ( định lí tổng 3 góc trong tam giác ) (2)

Góc DBE = góc CGE = 90 độ (3)

góc BED = góc GEC (đối đỉnh) (4)

Từ (1) , (2), (3) , (4) ==> góc BDE = góc ECG

Xét tam giác BDE vuông tại B và tam giác GCE:

+ BD = CG (cmt)

+ góc BDE = góc ECG (cmt)

==> tam giác BDE = góc GCE ( CGV-GN)

==> DE = CE ( 2 cạnh tương ứng)

mả AE = DE ( tam giác AED cân)

==> AE = CE

Trong tam giác AEC có: AE= CE (cmt)

==> tam giác AEC cân tại E

Ta có: DE = EC (cmt)

điểm E nằm giữa D và C

==> E là trung điểm của DC