Để chứng minh rằng \( \triangle ABI \) và \( \triangle ACI \) là tam giác cân, ta thực hiện các bước sau:

1. **Giả thiết**: \( \triangle ABC \) là tam giác cân tại \( A \) nên \( AB = AC \).

2. **Tia phân giác**: Gọi \( I \) là điểm cắt giữa tia phân giác \( BI \) và đường thẳng qua \( A \) song song với \( BC \). Theo tính chất của tia phân giác, ta có:
\[
\frac{AB}{AC} = \frac{BI}{IC}
\]

3. **Phân tích các tam giác**:
- Xét \( \triangle ABI \): Hai cạnh \( AB \) và \( AI \) tạo thành một góc với nhau tại \( A \), và \( I \) nằm trên tia phân giác. Từ đó, ta thấy \( AB = AC \) và \( AI \) là đường thẳng song song với \( BC \) (do giả thiết), do đó \( AI \) cũng sẽ có liên hệ với \( I \).
- Tương tự cho \( \triangle ACI \): Hai cạnh \( AC \) và \( AI \) cũng tạo thành một góc với nhau tại \( A \), và vì \( AC = AB \), mà tia phân giác cũng tư duy như vậy.

4. **Kết luận**: Từ các tính chất trên, khi xem xét hai tam giác \( ABI \) và \( ACI \):
- \( AB = AC \)
- \( AI \) chung cho cả hai tam giác
- Góc tại \( A \) là góc tương ứng trong cả hai tam giác.

Vậy, từ các lý thuyết đã nêu, ta có thể khẳng định rằng:
\[
\triangle ABI \cong \triangle ACI \Rightarrow \triangle ABI \text{ và } \triangle ACI \text{ đều cân.}
\]

Do đó, chứng minh đã hoàn tất.