a.

Xét ΔAHE và ΔBHD có:

∠BHD=∠AHE( Đối đỉnh)

∠BDH=∠AEH(=90)

=>ΔAHE đồng dạng ΔBHD (g.g)

=>AH/BH=HE/HD

=>AH.HD=BH.HE(đpcm)

b. Nối F,E,D

Xét ΔCFB và ΔADB có:

∠FBC chung

∠ADB=∠CFB(=90)

=>ΔCFB đồng dạngΔADB(gg)

=> BF/CB=BD/AB

Xét ΔBFD và ΔBCA có

BF/CB=BD/AB(cmt)

∠ABC chung 

=> ΔBFD đồng dạng ΔBCA (cgc)

=> ∠BFD=∠BCA(1)

Chứng minh tương tự:

=> ΔAFE đồng dạng ΔACB(c.g.c)

=> ∠AFE=∠BCA(2)

Từ (1) và (2)

=>∠AFE=∠BFD

Ta có: ∠AFE+∠EFC=90

∠CFD+∠DFB=90

=> ∠EFC=∠CFD

MÀ CF nằm giữa EF  và DF

=> FC là p/g của ∠EFD(3)

chứng minh tương tự <=> EB là p/g∠ DEF(4)

                                              DA là p/g ∠FDE(5)

Mà H là giao điểm của FC,EB,DA(6)

Từ 3,4,5,6=> H là giao điểm các đường p/g ΔDEF