Góc ở tâm. Số đo cung liên hệ giữa cung và dây

A. Phương pháp giải

1. Định nghĩa

- Góc có đỉnh trùng với tâm đường tròn gọi là góc ở tâm.

- Số đo của cung nhỏ bằng số đo của góc ở tâm chắn cung đó.

- Số đo của cung lớn bằng trừ đi số đo của cung nhỏ.

- Số đo của nửa đường tròn bằng.

2. Trong một đường tròn hay trong hai đường tròn bằng nhau:

- Hai cung bằng nhau căng hai dây bằng nhau.

- Hai dây bằng nhau căng hai cung bằng nhau.

3. Nếu C là một điểm nằm trên cung AB thì:

Sđ AB = Sđ AC + Sđ CB

4. Với hai cung nhỏ trong một đường tròn hay trong hai đường tròn bằng nhau:

- Hai cung bằng nhau căng hai dây bằng nhau.

- Hai dây bằng nhau căng hai cung bằng nhau.

5. Với hai cung nhỏ trong một đường tròn hay trong hai đường tròn bằng nhau:

- Cung lớn hơn căng dây lớn hơn.

- Dây lớn hơn căng cung lớn hơn.

B. Bài tập tự luận

Bài 1: Cho đường tròn (O, R) và điểm M nằm ngoài đường tròn đó. Gọi MA, MB là hai tiếp tuyến với đường tròn tại A và B. Tính số đo của góc ở tâm tạo bởi hai bán kính OA và OB nếu:

a) ∠AMB = 70^o

b) MA = R

c) MO = 2R

Hướng dẫn giải

Vì MA và MB là các tiếp tuyến của đường tròn (O) tại A và B nên: MA ⊥ OA, MB ⊥ OB

Suy ra: ∠MAO = ∠MBO = 90^o

a)

Xét tứ giác MAOB có:

∠AMB + ∠AOB + ∠MAO + ∠MBO = 360^o

⇔ ∠AOB = 360^o - (∠AMB + ∠MAO + ∠MBO)

= 360^o - (70^o+ 90^o + 90^o)

= 110^o

Vậy số đo góc ở tâm tạo bởi hai bán kính OA, OB bằng 110^o .

b)

Nếu MA = R

Xét ΔMAO có: MA = AO = R và ∠MAO = 90^o

=> Δ MAO vuông cân tại A

=> ang;MOA = 45^o

Vậy ∠AOB = 2.∠MOA = 90^o

c)

Nếu MO = 2R

Xét ΔMAO vuông tại A có: MO = 2.AO

=> ∠AMO = 30^o => ∠AOM = 60^o

Vậy: ∠AOB = 2.∠AOM = 120^o

Bài 2: Cho đường tròn (O; R) và dây AB không đi qua O. Trên dây AB lấy các điểm M, N sao cho AM = MN = NB. Tia OM, ON cắt (O) lần lượt tại C và D.

Hướng dẫn giải

Thât vậy, xét ΔAOM và ΔBON có:

OA = OB = R

∠OAM = ∠OBN (do ΔOAB cân tại O)

AM = BN (gt)

Suy ra ΔAOM = ΔBON(c-g-c)

Suy ra ∠AOM = ∠BON (hai góc tương ứng)

Gọi I là trung điểm của OB. Suy ra NI là đường trung bình của ΔOBM nên NI // OM => ∠MON = ∠ONI(so le trong) (1)

Mặt khác ta có: OB = OC = R, mà M ∈ OC => OM < OB hay NI < OI.

Xét ΔONI có NI < OI nên: ∠NOI < ∠ONI (2)

Từ (1) và (2) suy ra ∠NOI < ∠MON

Bài 3: Cho hai đường tròn bằng nhau (O) và (O’) cắt nhau tại A và B. Kẻ dây AM của đường tròn (O) và dây BN của đường tròn (O’) sao cho AM // BN.

Hướng dẫn giải

Vì AM // BN (gt) => ∠MAB = ∠ABN (so le trong) (1)

Mặt khác: OA = OB = O'A = O'B nên tứ giác OAO’B là hình thoi, do đó ∠OAB = ∠ABO' (2)

Từ (1) và (2) suy ra: ∠MAO = ∠NBO'

Ta có: ΔMOA cân tại O và ΔNO'B cân tại O' có góc ở đáy bằng nhau nên ∠MOA = ∠NO'B

Do đó: ΔMOA = ΔNO'B(c.g.c) => AM = BN

Mặt khác hai đường tròn (O) và (O”) bằng nhau nên

Bài 4: Cho hai đường tròn (O; R) và (O’; R’) cắt nhau tại hai điểm A và B (R < R'). Kẻ đường kính BOC và BO’D.

a) Chứng minh rằng: Ba điểm C, A, D thẳng hàng.

b) So sánh số đo hai cung nhỏ AC và AD.

Hướng dẫn giải

a) Vì ΔABC nội tiếp đường tròn đường kính BC nên ΔABC vuông tại A hay ∠BAC = 90^o .

Tương tự ta có: ∠BAD = 90^o

Suy ra: ∠CAD = ∠BAD + ∠BAC = 180^o nên 3 điểm C, A, D thẳng hàng.

b) Xét đường tròn (O) có:

Xét đường tròn (O’) có:

Từ đó suy ra

Bài 5: Cho đường tròn (O) đường kính AB. Điểm C thuộc đường tròn (O) sao cho SđBC = 30^o, điểm M thuộc cung AC nhỏ. Gọi D và E là các điểm đối xứng với M qua AB và OC. Chứng minh rằng: ΔDOE đều.

Hướng dẫn giải

Vì SđBC = 30^o => ∠BOC = 30^o

Gọi I là giao điểm của MD và AB, J là giao điểm của ME và OC.

Theo giả thiết: M và D đối xứng với nhau qua AB, mà M thuộc đường tròn (O) nên D cũng thuộc đường tròn (O). Tương tự E thuộc đường tròn (O).

Tứ giác MIOJ có ∠I = ∠J = 90^o

=> ∠IMJ + ∠IOJ = 180^o

=> ∠IMJ = 180^o - ∠IOJ = ∠BOC = 30^o

Ta có ΔMOD và ΔMOE cân tại O nên:

∠MOD = 180^o - 2∠DMO

∠MOE = 180^o - 2∠EMO

=> ∠MOD + ∠MOE = 360^o - 2(∠DMO + ∠EMO)

⇔ 360^o - ∠DOE = 360^o - ∠IMJ

⇔ ∠DOE = 2∠IMJ = 60^o

Vậy ΔDOE đều.

Bài 6: Cho điểm M chuyển động trên nửa đường tròn (O) đường kính AB. Vẽ hai tiếp tuyến Ax và By với đường tròn (O). Tiếp tuyến tại M với (O) cắt Ax tại C và cắt By tại D; các đường thẳng CO và OD cắt (O) lần lượt tại E và F.

a) Tính Sđ EF.

b) Tìm tập hợp tâm I của đường tròn ngoại tiếp .

Hướng dẫn giải

a) Vì CA và BM là hai tiếp tuyến với (O) nên OC là tia phân giác của ∠AOM .

Tương tự ta có OD là tia phân giác của ∠BOM

Mà ∠AOM và ∠BOM là hai góc kề bù, suy ra OC ⊥ OD

Vậy ta có ∠COD = 90^o hay SđEF = 90^o .

b) * Phần thuận:

Vì ΔCOD vuông tại O nên tâm I của đường tròn ngoại tiếp tam giác ΔCOD là trung điểm của CD.

Dễ thấy tứ giác ABCD là hình thang có OI là đường trung bình nên OI//AC => OI ⊥ AB.

Vậy I chuyển động trên đường thẳng d vuông góc với AB tại O.

* Phần đảo và giới hạn: Học sinh tự chứng minh.

Bài 7: Cho AB là dây cung của đường tròn (O), I là trung điểm của AB. Trên cung nhỏ AB lấy điểm M tùy ý. Gọi giao điểm OI và MI với (O) lần lượt C và N. So sánh và .

Hướng dẫn giải

Kẻ OH ⊥ MN

Ta có: ΔOHI vuông tại H nên OH < OI.

Mà OH, OI lần lượt là các khoảng cách từ O đến hai dây MN và AB nên suy ra AB < MN. Do đó

Bài 8: Cho ΔABC đều. Vẽ nửa đường tròn tâm O đường kính BC ra phía ngoài ΔABC. Gọi D và E là hai điểm thuộc nửa đường tròn sao cho cungBD = cungDE = cungEC . AD và AE cắt BC lần lượt tại M và N. Chứng minh rằng:

a) ΔABN ∼ ΔECN

b) BM = MN = NC

Hướng dẫn giải

=> ΔOEC đều nên ∠OCE = 60^o

Xét ΔABN và ΔECN có

+) ∠ANB = ∠ENC (đối đỉnh)

+) ∠ABN = ∠ECN = 60^o

=> ΔABN ∼ ΔECN (g.g)

b) Vì ΔABC và ΔOCE là hai tam giác đều có BC = 2OC nên suy ra AB = 2CE.

Lại có: ΔABN ∼ ΔECN (chứng minh a)

⇔ BN = 2NC do đó: BM = MN = NC.

Bài 9: Qua điểm M nằm ngoài đường tròn (O), vẽ hai cát tuyến MAB và MCD với đường tròn sao cho AB > CD. Gọi H và K lần lượt là trung điểm của AB và CD. Chứng minh rằng:

a) MH > MK

b) ∠MOH > ∠MOK

Hướng dẫn giải

a) Vì H, K lần lượt là trung điểm của AB, CD nên OH ⊥ AB, OK ⊥ CD (quan hệ giữa đường kính và dây cung).

Ta có: AB > CD => OH < OK (liên hệ giữa dây cung và khoảng cách đến tâm).

=> MH > MK

Vì ∠MHO = ∠MKO = 90^o nên H, K cùng thuộc đường tròn đường kính MO.

Trong đường tròn đường kính MO, ta có MH > MK

Mặt khác: ∠MOH = 1/2 SđMH

∠MOK = 1/2 SđMK

Từ đó suy ra: ∠MOH > ∠MOK .

Bài 10: Trên đường tròn (O; R), lấy lần lượt theo cùng một chiều các điểm A, B, C, D sao cho

Chứng minh rằng S_ΔAOB = S_ΔCOD .

Hướng dẫn giải

Kéo dài OC cắt đường tròn (O) tại E.

Do đó: ΔAOB = ΔEOD nên S_ΔAOD = S_ΔEOD (1)

Mặt khác: ΔEOD và ΔCOD có chung chiều cao kẻ từ D xuống EC và độ dài hai đáy EO = OC nên S_ΔEOD = S_ΔCOD (2)

Từ (1) và (2) suy ra: S_ΔAOB = S_ΔCOD .