Bài 1. Có \(1 kg\) chất phóng xạ độc hại. Biết rằng, cứ sau một khoảng thời gian \(T = 24 000\) năm thì một nửa số chất phóng xạ này bị phân rã thành chất khác không độc hại đối với sức khỏe của con người (\(T\) được gọi là chu kì bán rã).
Gọi \((u_n)\) là khối lượng chất phóng xạ còn sót lại sau chu kì thứ \(n\).
a) Tìm số hạng tổng quát \(u_n\) của dãy số \((u_n)\).
b) Chứng minh rằng \((u_n)\) có giới hạn là \(0\).
c) Từ kết quả câu b), chứng tỏ rằng sau một số năm nào đó khối lượng chất phóng xạ đã cho ban đầu không còn độc hại đối với con người, cho biết chất phóng xạ này sẽ không độc hại nữa nếu khối lượng chất phóng xạ còn lại bé hơn \(10^{-6}g\).
Hướng dẫn giải:
a) Nhận xét: \(u_1=\frac{1}{2}\); \(u_2= \frac{1}{4}\); \(u_3=\frac{1}{8}\); ... \(u_n=\frac{1}{2^{n}}\).
Điều này chứng minh đơn giản bằng quy nạp.
b) \(\lim {u_n} = \lim {\left( \right)^n} = 0\).
c) Đổi \(10^{-6}g = \frac{1}{10^{6}} . \frac{1}{10^{3}}kg = \frac{1}{10^{9}} kg\).
Muốn có \(u_n= \frac{1}{2^{n}}\) < \(\frac{1}{10^{9}}\), ta cần chọn \(n_0\) sao cho \({2^} > {10^9}\). Suy ra \(n_0= 30\). Nói cách khác, sau chu kì thứ \(30\) (nghĩa là sau \(30.24000 = 720000\) (năm)), chúng ta không còn lo lắng về sự độc hại của khối lượng chất phóng xạ còn lại.