Bài 17:
Có AB = c; BC = a; AC = b và AI phân giác của ^A.
AD phân giác nên DA/DC = BA/BC suy ra DA/(AD + DC) = AB/(AB + BC) suy ra AD/AC = AB/(AB + BC) vậy AD/b = c/(c + a)
nên AD = bc/(c + a) . AI phân giác trong tg ABD nên BI/ID = BA/AD suy ra BI/(BI+ID) = BA/(BA + AD) vậy BI/BD = c/[c+bc/(c+a)]
= (a+c).c/(c^2 + ac + bc) vậy BI/BD = (a+c)/(a + b + c) (1)
Tương tự CI/CE = (a+b)/(a+b+c) (2).
Theo đề 2.BI.CI = BD.CE nên 2.(BI/BD).(CI/CE) = 1
(BI/BD)(CI/CE) = 1/2 Thế (1) và (2) ta có :
[(a+c)/(a+b+c)].[(a+b)/(a+b+c)] = 1/2 suy ra :2(a+c)(a+b) = (a+b+c)^2
Khai triển hai vế : 2a^2 + 2ab + 2ac + 2bc = a^2 + b^2 + c^2 + 2ab + 2ac + 2bc
Vậy a^2 = b^2 +c^2 nên tg ABC vuông