Tam giác ABC vuông tại A có:
AM là trung tuyến
=> AM = BC/2
Ta có:
          MB = MC = BC/2 (M là trung điểm của BC)
          MA = MD (gt)
=> MA = MB = MC = MD
=> tam giác MAB cân tại M ; tam giác MCD cân tại M
=> góc B = (180 độ − AMB) : 2 ; góc C = (180độ − CMD):2
Mà góc AMB = CMD (đối đỉnh)
=> góc B = góc C1 
mà 2 góc này ở vị trí so le trong
=> CD // AB mà AB vuông góc với AC
=> CD vuông góc với AC
    mà IE // AC
=> ID vuông góc với IE
=> góc EID = 90o
Mà tam giác ACI vuông cân tại C (do CI = CA; góc ACI = 90o)
=> góc CIA = 45o
=> góc AIE = góc EID ‐ CIA = 90o ‐ 45o = 45o
+? Vì AC // EI
=> góc CAE + AEI = 180o (2 góc trong cùng phía)
hay góc CAI + IAE + AEI = 180o  
=> 45o + IAE + AEI = 180o   (1)
+) Tương tự, ID // AB
=> góc CIA + IAB = 180o (2 góc trong cùng phía)
hay góc CIA + IAD + DAB = 180o 
=>  45o + IAD + DAB = 180o    (2)
+) Vì AC // EI
=> góc AEI = A1 (2 góc đồng vị)
Mà góc A1 + C2 = 90o (do tam giác AHC vuông tại H)
góc B + C2 = 90o (do tam giác ABC vuông tại A)
=> góc A1 = B
=> góc AEI = góc B
mà góc B = DAB (do tam giác MAB cân tại M)
=> góc AEI = góc DAB (3)
Từ (1)(2) và (3)
=> góc EAI = IAD 
Lại có cạnh chung AI; góc AIE = AID (cùng = 45o)
=> tam giác DAI = EAI (g.c.g)
 => AD = AE
mà AD = BC (vì cùng bằng 2 lần MA)
=> AE = BC