Chương 4 : Giới hạn

A. Giới hạn và dãy số

Luyện tập (trang 143-144)

Bài 20 (trang 143 sgk Đại Số và Giải Tích 11 nâng cao): Bông tuyết Vôn Kốc

Ta bắt đầu từ một tam giác đều ABC, cạnh a. Chia mỗi cạnh của tam giác ABC làm ba đoạn thẳng bằng nhau. Trên mỗi đoạn thẳng ở giữa , dựng một tam giác đều nằm ngoài tam giác ABC rồi xoá đáy của nó, ta được gấp khúc khép kín H₁ . Chia mỗi cạnh của rồi xoá đáy của nó, ta được gấp khúc khép kín H₂ . Tiếp tục như vậy, ta được một hình giống như bong tuyết, gọi là bông tuyết Vôn Kốc( hình vẽ)

a) Gọi p₁, p₂, ..., p_n là độ dài của H₁, H₂, ... , H_n . Chứng minh rằng (p_n)là một cấp số nhân. Tìm lim p_n . b) Gọi S_n là diện tích của miền giới hạn bởi đường gấp khúc H_n. Tính S_n và tìm giới hạn của dãy số (S_n) Hướng dẫn: Số cạnh của H_nlà 3.4ⁿ. Tìm độ dài mỗi cạnh của H_n, từ đó tính p_n. Để tính S_n cần chú ý rằng muốn có H_n+1chỉ cần thêm vào một tam giác đều nhỏ trên mỗi cạnh của H_n.

Lời giải:

Vế phải của (1) là tổng của n số hạng đầu tiên của cấp số nhân lùi vô hạn có số hạng đầu là S/3 và công bội là 4/9. Tổng của cấp số nhân này là: