Chương I: Ứng dụng đạo hàm để khảo sát và vẽ đồ thị của hàm số

Bài 5: Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số

Bài 5 (trang 44 SGK Giải tích 12): a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số:

y = -x³ + 3x + 1

b) Dựa vào đồ thị (C), biện luận về số nghiệm của phương trình sau theo tham số m:

x³ - 3x + m = 0

Lời giải:

a) Khảo sát hàm số y = -x³ + 3x + 1

- Tập xác định: D = R

- Sự biến thiên:

    + Chiều biến thiên: y' = -3x² + 3 = -3(x² - 1)

y' = 0 ⇔ -3(x² - 1) = 0 ⇔ x = ±1

    + Giới hạn:

    + Bảng biến thiên:

Hàm số đồng biến trên khoảng (-1; 1).

Hàm số nghịch biến trên các khoảng (-∞; -1) và (1; +∞).

    + Cực trị:

Đồ thị hàm số có điểm cực tiểu là: (-1; -1).

Đồ thị hàm số có điểm cực đại là: (1; 3).

- Đồ thị:

    + Giao với Oy: (0; 1).

    + Đồ thị (C) đi qua điểm (-2; 3), (2;-1).

b) Ta có: x³ - 3x + m = 0 (*) ⇔ -x³ + 3x = m

⇔ -x³ + 3x + 1 = m + 1

Số nghiệm của phương trình (*) chính bằng số giao điểm của đồ thị hàm số (C) với đường thẳng (d): y = m + 1.

Biện luận: Từ đồ thị ta có:

    + Nếu m + 1 < –1 ⇔ m < –2 thì (C ) cắt (d) tại 1 điểm.

    + Nếu m + 1 = –1 ⇔ m = –2 thì (C ) cắt (d) tại 2 điểm.

    + Nếu –1 < m + 1 < 3 ⇔ –2 < m < 2 thì (C ) cắt (d) tại 3 điểm.

    + Nếu m + 1 = 3 ⇔ m = 2 thì (C ) cắt (d) tại 2 điểm.

    + Nếu m + 1 > 3 ⇔ m > 2 thì (C ) cắt (d) tại 1 điểm.

Từ đó suy ra số nghiệm của phương trình x³ - 3x + m = 0 phụ thuộc tham số m như sau:

    + Phương trình có 1 nghiệm nếu m < -2 hoặc m > 2.

    + Phương trình có 2 nghiệm nếu m = -2 hoặc m = 2.

    + Phương trình có 3 nghiệm nếu: -2 < m < 2.