Chương I: Ứng dụng đạo hàm để khảo sát và vẽ đồ thị của hàm số

Bài ôn tập chương I

Bài 6 (trang 45 SGK Giải tích 12): a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số:

f(x) = -x³ + 3x² + 9x + 2

b) Giải phương trình f'(x - 1) > 0.

c) Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị (C) tại điểm có hoành độ x₀, biết rằng f'(x₀) = -6.

Lời giải:

a) Khảo sát hàm số f(x) = -x³ + 3x² + 9x + 2

- TXĐ: D = R

- Sự biến thiên:

    + Chiều biến thiên: f'(x) = -3x² + 6x + 9

f'(x) = 0 ⇔ -3x² + 6x + 9 = 0 ⇔ x = -1; x = 3

    + Giới hạn:

    + Bảng biến thiên:

Hàm số đồng biến trên (-1; 3) và nghịch biến trên (-∞; -1) và (3; +∞).

    + Cực trị:

Hàm số đạt cực đại tại (3; 29);

Hàm số đạt cực tiểu tại (-1; -3);

- Đồ thị:

b) Ta có: f'(x - 1) > 0

⇔ -3(x - 1)² + 6(x - 1) + 9 > 0

⇔ -3(x² - 2x + 1) + 6x - 6 + 9 > 0

⇔ -3x² + 6x - 3 + 6x - 6 + 9 > 0

⇔ -3x² + 12x > 0 ⇔ -x² + 4x > 0

⇔ x(4 - x) > 0 ⇔ 0 < x < 4

c) Ta có: f"(x) = -6x + 6

Theo bài: f"(x_o) = -6 => -6x_o + 6 = -6 => x_o = 2

Vậy phương trình tiếp tuyến với (C) tại điểm x_o = 2 là:

y = f'(2)(x - 2) + f(2)

y = (-3.2² + 6.2 + 9)(x - 2) + (-2³ + 3.2² + 9.2 + 2)

y = 9(x - 2) + 24 = 9x + 6