Chương I: Ứng dụng đạo hàm để khảo sát và vẽ đồ thị của hàm số

Bài ôn tập chương I

Bài 5 (trang 45 SGK Giải tích 12): Cho hàm số y = 2x² + 2mx + m - 1 có đồ thị là (C_m), m là tham số.

a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số khi m = -1

b) Xác định m để hàm số:

    i) Đồng biến trên khoảng (-1; +∞)

    ii) Có cực trị trên khoảng (-1; +∞)

c) Chứng minh rằng (C_m) luôn cắt trục hoành tại hai điểm phân biệt với mọi m.

Lời giải:

a) Với m = -1 ta được hàm số: y = 2x² + 2x

- TXĐ: D = R, hàm số không có tiệm cận.

- Sự biến thiên:

    + Chiều biến thiên: y' = 4x + 2

y' = 0 => x = -1/2

    + Bảng biến thiên:

Hàm số nghịch biến trên (-∞; -1/2), đồng biến trên (-1/2; +∞).

    + Cực trị: Hàm số có điểm cực tiểu là (-1/2; 3/2)

- Đồ thị:

Ta có: 2x² + 2x = 0 ⇔ 2x(x + 1) = 0

=> x = 0; x = -1

    + Giao với Ox: (0; 0); (-1; 0)

    + Giao với Oy: (0; 0)

b) Xét hàm số y = 2x² + 2mx + m - 1

y' = 4x + 2m = 2(2x + m)

y' = 0 => x = -m/2

Ta có bảng xét dấu y':

=> hàm số có cực trị tại x = -m/2

- Hàm số đồng biến trên khoảng (-1; +∞)

- Hàm số có cực trị trên khoảng (-1; +∞) thì:

c) Phương trình hoành độ giao điểm của đồ thị (C_m) và trục Ox là:

        2x² + 2mx + m - 1 = 0     (1)

Δ' = m² - 2(m - 1) = m² - 2m + 2

= (m + 1)² + 1 > 0 ∀ m ∈ R

=> Phương trình (1) luôn có hai nghiệm phân biệt, nghĩa là đồ thị luôn cắt trục hoành tại hai điểm phân biệt với mọi m (đpcm).